函数是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型，与不等式有着密切关系，函数有许 多性质：单调性、凸性、极值等。利用函数的这些性质，结合辅助函数，经常可以巧妙地证 明不等式。同时，从实例函数出发，考究函数的性质，还能构造新的不等式。 

本文将依次研究函数的单调性、凸性、微分中值定理以及极值，分析它们与不等式之间 的联系。对一些已知的不等式，用函数的方法进行证明；对一些常见的函数，则深入挖掘它 的性质，给出新的不等式。 

一、函数的单调性在不等式研究中的应用

单调性是函数的一个重要性质，可以定性描述函数值与自变量在一个区间内变化的关 系。在不等式的研究中，构造辅助函数并利用其单调性研究不等式是一种常见的方法。 

1。1 函数的单调性

定义 1。1。1 一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I 。 

如果对于属于定义域 I 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1  x2 时，

[1]

都有 f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在这个区间上是增函数 。 

如果对于属于定义域 I 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1  x2 时，

都有 f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在这个区间上是减函数 。 

[1]

由上面的定义可知：函数值随自变量的增大而增大的函数为增函数；函数值随自变量的 增大反而减小的函数为减函数。利用差商，我们还可以把定义 1。1。1 写成用如下等价定义。 

定义 1。1。2 [1]  设函数 f (x) 的定义域为 I ，区间 X I ，对于 X 上的任意两个自变量

x1 ， x2 ，且 x1  x2 。 

若 f (x1 ) f (x2 ) 0 ，则称 f (x) 在这个区间上是增函数。 

x1  x2

若 f (x1 ) f (x2 ) 0 ，则称 f (x) 在这个区间上是减函数。 

x1  x2

由定义 1。1。2 并结合函数的导数相关知识，可以得到如下定理。 

定理 1。1。1 [ 2 ]（导数的符号与函数单调性的关系） 若 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，则 f (x) 在[a,b] 上单调增加（或单调减少）的充要条件为在 (a,b) 内 f (x) 0（或 f (x) 0 ）。 

证明 就单调增加的情形给出证明（单调减少的证明类似）。 先证必要性，即证 

f x单调增加 f x0 。 论文网

因 f (x) 在 (a,b) 上可导，故对 (a,b) 内任一点 x0 ，有 

又因 f (x) 单调增加，所以不论 x x0 还是 x x0 ，总有 

再根据极限的性质，便可得到 

  f x  f x0   0 ， 

x x0

f x0   lim

f x f x0   0 。 

再证明充分性，即证 

不妨设 x1, x2 a,b且 x1  x2 ，根据 Lagrange 中值定理得 

f x2  f x1    f  x2   x1    x1     x2  。 

因为假设 f x0 ，且 x2 x1  0 ，于是由上式可知，必有 

f x2  f x1   0 ， 

即 f x2    f x1   x2   x1 ，这就是说 f x是单调增加的。 

    从充分性的证明中容易看出，可有以下推论。 

推论 1。1。1 [3]     若 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，且 f (x) 不变号，那么