3 一元三次方程中的因式分解

3。1分组分解法

在高中阶段并没有解一元三次方程的通法，所以我们要解决繁琐的一元三次方程就必须把一元三次方程转化为我们较为熟悉的一元一次或一元二次方程源Q于W优E尔A论S文R网wwW.yOueRw.com 原文+QQ75201,8766 ，而分组分解法就是我们常用的方法。此办法是通过加几项、减几项或者是拆项把一元三次多项式分解成若干组，然后分别进行因式分解，然后再提取公因式，最后经过整理后再进行分解。下面我通过几个例子来说明一下这个方法具体是怎么操作的。

3。1。1  可以分解成三个一次因式的乘积的情况

例3。1。1。1   x^3-x^2-14x+24=0

解  等号左边=(x^3+x^2-12x)+(-2x^2-2x+24)

            =x(x^2+x-12)-2(x^2+x-12)

            =(x-2)(x^2+x-12)

            =(x-2)(x+4)(x-3)

则我们可以把原一元三次方程化为(x-2)(x+4)(x-3)=0的形式，原来的三次多项式就变成了三个一次单项式的乘积的形式，这样我们一看就知道如何进行求解。

(x-2)(x+4)(x-3)=0即x-2=0或者x+4=0或者x-3=0，解得原方程的解为x=2或者x=-4或者x=3

例3。1。1。2   2x^3-x^2-12x-9=0

解  等号左边=(2x^3-3x^2-9x)+(2x^2-3x-9)

            =x(2x^2-3x-9)+(2x^2-3x-9)

            =(x+1)(2x^2-3x-9)

            =(x+1)(2x+3)(x-3)

则我们可以把原一元三次方程化为(x+1)(2x+3)(x-3)=0的形式，原来的三次多项式就变成了三个一次单项式的乘积的形式，这样我们一看就知道如何求解。

(x+1)(2x+3)(x-3)=0即x+1=0或者2x+3=0或者x-3=0，解得原方程的解为x=-1或者x=-3/2或者x=3

例3。1。1。3   x^3+6x^2+11x+6=0

解  等号左边=（x^3+5x^2+6x）+(x^2+5x+6)

            =x(x^2+5x+6)+ (x^2+5x+6)

            =(x+1)(x^2+5x+6)

            =(x+1)(x+2)(x+3)

则我们可以把原一元三次方程化为(x+1)(x+2)(x+3)=0的形式，原来的三次多项式就变成了三个一次单项式的乘积的形式，这样我们一看就知道如何求解。

(x+1)(x+2)(x+3)=0即x+1=0或者x+2=0或者x+3=0，解得原方程的解为x=-1或者x=-2或者x=-3

3。1。2  分解成两个因式的乘积的情况

例3。1。2。1  2x^3+5x^2+3x+2=0

解  等号左边=(x^3+2x^2 )+(x^3+3x^2+3x+2)

            =x^2 (x+2)+(x+2)(x^2+x+1)

=(x+2)(2x^2+x+1)

则我们可以把原一元三次方程化为(x+2)(2x^2+x+1)=0的形式，复杂的三次多项式就变成了一个一次单项式和一个两次三项式的乘积，问题就转变成了求解一元一次方程和一元二次方程，我们更方便求解。

 (x+2)(2x^2+x+1)=0即x+2=0或者2x^2+x+1=0，我们容易发现这个一元二次方程是没有实数解的，所以原方程的解就是一元一次方程x+2=0的解，解得原方程的解为x=-2

例3。1。2。2  x^3-2x-1=0 

解  等号左边=(x^3-2x^2-1)+(2x^2-2x)

=(x-1)(x^2-x+1)+2x(x-1)

=(x-1)(x^2+x+1)

则我们可以把原一元三次方程化为(x-1)(x^2+x+1)=0的形式个，复杂的三次多项式就变成了一个一次单项式和一个两次三项式的乘积来自优Y尔L论W文Q网wWw.YouERw.com 加QQ7520~18766 ，问题就转变成了求解一元一次方程和一元二次方程，我们更方便求解。

(x-1)(x^2+x+1)=0即x-1=0或者x^2+x+1=0，我们容易发现这个一元二次方程是没有实数解的，所以原方程的解就是一元一次方程x-1=0的解，解得原方程的解为x=1