配煤槽水分分布模型的有限差分解法(3)
（6）切煤过程不发生渗透.
（7）每次新加入的煤具有均匀的含水率.
2.1.2问题分析和模型建立
设深度 , 含水率 . 对于空间方向每个点 , 分析 时刻该点处的含水率变化. 主要的物理现象有两种:
(1)水分在重力, 阻力等作用下产生的对流;
(2)水分由含水率高处往低处的扩散.
因此, 考虑两种类型的正向流速(这里的流速是指含水率的变化速度, 正向表示沿着深度 的正方向):
(1)对流速度 , 与该点的含水率 有关, 即 . 含水率越大, 流速越大; 且对流的方向为竖直向下, 因此 是 的单调递增函数. 设 与 成指数关系. 注意到, 当 时, . 一般情况下, 取具有如下形式的对流速度:
(2)扩散速度 , 与该点处含水率在空间方向的变化率 ( )有关, 即 .
(a) 一方面, 当 (即含水率随深度的增大而增大)时, 扩散方向为竖直向上, 沿深度的负方向, 则 ; 类似地, 当 时, ; 因此, 与 符号相反.
(b) 另一方面, 越大, 则扩散速度越快, 因此 是关于 的单调递增函数. 若 时扩散速度函数为 , 则当 时, 扩散速度为 , 即扩散速度 为关于 的奇函数.
设 与 成指数关系. 注意到, 当 时, . 一般情况下, 取具有如下形式的扩散速度:
由上面的分析, 时刻 处的含水率变化可由如下的微分方程来描述:
(1)
可化为对流扩散方程
鉴于假设(4), 整个过程与外界没有水分交换, 应采用第二类齐次边界条件
2.1.3数值求解
文献[19]主要针对灌溉入渗问题，利用对流扩散方程进行模拟，得到了可靠的模拟结果。然而[19]中讨论的是有水源的情况，我们需要探讨的是无水源的问题。
文献[22]研究了粒子在重力、流体阻力和随机力作用下的扩散，通过计算沉降速度，间接求得烟幕在封闭腔内的运动情况。尽管引入了沉降速度的计算作为中间过程，但简化了模型的求解。
对于对流扩散模型(6.2)，本章采用间接求解的方法：求解其等价模型(6.1), 而(6.1)中的对流速度和扩散速度再通过(6.1)的解间接得到。相当于将(6.2)化为以下的方程组求解：
(6.3)
(1)空间离散
为了简化求解, 回到(1)式, 即已知对流速度 和扩散速度 . 设
将所考虑的区间 等分为 个子区间
其中 , .
下面对于每个节点 , 考虑其含水率 的变化. (1)可化为
(2)
其中, 对于近似的对流速度和扩散速度, 分别有
(2)时间离散
时间方向采用向前Euler格式进行离散. 设时间步长为 ,
结合前述空间离散, (2)化为
2.1.4含水率的修正
对于实际问题, 煤炭含水率低于某临界值(设为 )时, 不再对外发生对流和扩散. 因此, 在计算过程中, 需对上述模型进行修正.
设计算得到的 层含水率 均不小于 , 但
(4)
需修正 . 进行如下步骤:
(1) 设 为 的最小元素, 则修改 和 如下:
即: 将 恢复到 , 且保持 不变;
(2) 用修正后的 按式(4)求
(3) 若 不为空集, 则回到步骤(1), 否则修正结束.
2.1.5模型仿真和解释