摘要：本文归纳总结了柯西不等式推广的几种类型，列举了其在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变函数和概率论中的一些形式、证明方法和应用。 这些充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。

毕业论文关键词： 柯西不等式，初等数学，数学分析， 高等数学，概率论93036

Abstract:  In this article, we investigate the several types of Cauchy inequality。  And we give proofs and applications of the Cauchy inequalities in the Elementary Algebra, Mathematical Analysis, Advanced Algebra and Complex Variables, as well as Probability Theory。 This fully embodies the mathematical connection of between fields, penetration and uniformity。

Key words: Cauchy Inequality, Elementary Mathematics，Mathematical Analysis，Advanced Mathematics，Probability  Theory

目录

  1。引言4

  2．柯西不等式推广形式与证明4

2。1柯西不等式在初等代数研究中的形式4

2。2柯西不等式在数学分析中的形式5

2。3柯西不等式在高等代数中的形式6

2。4柯西不等式在复变中的形式7

2。5柯西不等式在概率论中的形式8

3。柯西不等式每种形式间关系8

4。柯西不等式的应用10

结论21

参考文献22

致谢23

1。 引言来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

不等式作为我们学习和生活中非常重要的工具，为我们的学习和生活带来了很大的便捷。在学习上巧妙的运用不等式能使我们遇到的问题迎刃而解，在生活中运用不等式可以统筹规划，放大资源的利用，使生产更有效更有利可图。而柯西不等式作为不等式的典型的存在，在我们学习中显得尤为重要。 关于柯西不等式运用在求解距离问题、证明等式及不等式、解三角形和几何相关问题、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解释样本线性相关系数数学问题方面比较显著 。

本文将给出柯西不等式的一些推广和证明方法，并举例说明柯西不等式在数学推理证明和解题等问题中的应用。

2。 柯西不等式的推广形式与证明

Cauchy不等式基本形式如下：

定理1（Cauchy不等式）：设有两组实数 ，则不等式：

 柯西不等式在初等代数研究中的形式

定理 2    论文网

当且仅当存在不全为零的常数k使 时，等号成立（ ）

证明 (数学归纳法)

(1) 当 时，显然成立；

当 时

当且仅当 时等号成立。

(2) 假设当 时成立,即

当且仅当 时等号成立，那么当 时

当且仅当

 且 

时等号成立。

2。2柯西不等式在数学分析中的形式

定理 3  ，有

当且仅当存在不全为零的常数 ,  使 时,等式成立。 

证明 设               

     = 所以  判别式即所以 

2。3柯西不等式在高等代数中的形式

定理 4  对于任意的向量 , 有 

当且仅当存在不全为零的常数  , 使 时,等式成立。 

证明 当 时， 显然成立。以下设 。令 是一个实变数，作向量 ,