定理3  设 是常数且 ,如果函数 对定义域内的任意一个 ,满足 ,那么 是周期函数且他的周期为 。

证明 因为  ,那么 是周期函数且他的周期为 。

推论3 设 是常数且  ,如果函数 对定义域内的任意一个 ,满足 ，那么 是周期函数且他的周期为 。

证明 因为  ,那么由定理3可以知道，结论成立。

推论4  如果函数 满足 ,其中a≠0是一个给定的常数，则 是周期函数且他的周期为 。

证明因为 = = ,即 ，那么由定理3可知 是周期函数且他的周期是 。

同理可论证推论3成立。

推论5  若函数 满足 ,其中 是一个给定的常数,那么， 是周期函数且他的周期是 。

定理4 若函数 满足 ,其中 ， 为常数，且  ，那么 为周期函数且它的周期是 。

证明  因为

 = ,所以  为周期函数且它的周期为 。

2。2  周期函数的几个性质文献综述

近几年的高考中函数性质是考查的重难点内容之一,对周期函数的考查是与其他性质结合起来考查的。这一类题目的解决有较大难度,为了克服这一困难,下面给出周期函数的几个重要性质,希望能给同学们的解题带来帮助。

性质 1   设 是定义在 上的函数,且关于直线 及 对称,则函数 是以 为周期的函数。特别地,当 是定义在 上的偶函数,且图象关于直线  对称,则函数 是以 为周期的周期函数。

证明 因为 的图象关于直线  和直线 对称,所以 ， 。所以 ，可见 是 上的周期函数,且 是它的一个周期 。

例 1 定义在 上的函数 ,它的图象既关于直线 对称,又关于直线  对称,又知当 时, ,对于整数 ,记  ,求 在 上的表达式。

分析 已知关于两条直线对称，根据定理1与性质1，可知函数为周期函数，周期为4。

解  因为 的图象既关于直线 对称,又关于直线 对称, 所以

 。根据性质 1,得 是周期函数,且4是周期