(2)用倒序相加法求等差数列的前n项和,

        两式相加,得(上下一一对称,相同位置的两项相加的结果都是 )

     

(二)常出现在公式、定理中

在不少我们熟知的公式中,对称也一直活跃着。它藏在公式中、定理中,不易察觉,却能深刻地感受到它的存在。

简单如我们最初所学的交换律a+b=b+a,结合律(a×b)×c=a×(b×c),分配律(a+b)×c=a×b+a×c;复杂如后来变化的完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²。

例6:计算 。

     解:运用平方差公式解题,

         

我们不难发现, 中,式中“+”“-”的对称也是数学中隐藏的一种对称美。对称在代数中随处可见。例如,实数n与-n互为相反数;a+bi与a-bi互为共轭复数;在导数运算法则中,(u+v)'=u'+v'。。。如此都具备显然的对称性。运用这些公式来解题,往往事半功倍,不仅加快了速度,还提高了效率,更加不容易出错。

数学的对称美也表现为数学中各种概念和定理间的对称性。

例7:正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。 

    它简单明了的涵概了三角形边、角及与外接圆半径之间的关系,精简、对称。

    更广泛的方面来说,我们也将很多看作对称关系,比如说:奇数与偶数、质数与合数、指数与对数、微分与积分等等。高等数学中,矩阵和行列式被称作“美丽的花园”,就算是不懂数学的人,看到这些排列的整齐有序和井井有条,也能够体会到数学的对称之美了。

(三)常出现在解题过程中 

人类的审美偏向于对称之美;而在数学中,它作为一把突破方法解决问题的利刃存在。

例8:小明和小刚是一对兄弟,他们俩同在一个公司上班,小明从家走到公司30min,而小刚只要20min,假如小明比小刚先5min出发,那么过多久小刚能追上小明呢? 

用对称思想来思考,小明和小刚如果同时出发,那么小明晚到10min,现在小明早出发5min,那么就会晚到5min。以时间来作线段图来解决问题,则线段图呈现一种对称状态,故知小刚必定与小明同时到达全程中点,此时小刚刚好用10min。论文网

思考解题时加入对称美,能够启发学生找到突破性的解题思路,起到事半功倍的作用。 

    方程中常常也运用数学中的对称美。

例9:同学们乘坐公交车去参观博物馆,出发30分钟后,小力乘高速客车追赶,问多少时间后追上?(公共汽车速度:50 km/ h高速客车:75 km/ h) 

分析:这道题我们可以根据题意很快的列出方程,可以看出是相对速度问题或等距离问题,也可以用对称来思考。

解:可以用方程来解决这一类问题。

(1)等距离思路;

   设过x时追上,所以过x时后,公车行驶时间是0。5+x,距离是50(0。5+x);高速客车行驶时间是x,距离是75x;两者从同一地点出发,追上时行驶距离相等,所以

50(0。5+x)=75x

(2)相对速度思路;

   公交车早出发30分钟,也就是说,在小力开始出发时,公车已行驶50×0。5=30km,这距离就是两者相比多出来的。但是小明的车速快,所以多出来的距离必须靠速度差来弥补。他们的速度差是(75-50)km/h,行驶x小时后赶上,方程式是

(75-50)x=60×0。5

    无论用那种方法列方程,都能体现数学中的对称思想,不仅体现了对称美,还体现了数学中解题方法的多样性。

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