。

    例2 求极限 。解  。

所以  例3 求   解 记 则两式相减，可得当 时，

当 时，由于 （ ）,所以原极限不存在。

3。2单调有界定理

    若数列{ }递增或者递减并且有上下界，则数列{ }收敛，即单调有界数列必有极限。

运用范围：论文网

（1）首先要明确，单调有界定理仅仅只能证明出数列极限的存在性，并不能求出数列极限。

（2）如果从某数列的某一项开始满足单调有界定理，那么这个数列依旧满足结论，因为有限项不改变数列极限。

    例4   其中 ，求 。

    解 在这里我们发现这个数列有一点规律的递进，而且我们可以大胆做出假设，就是数列应该是有极限的，然后试探性的运用单调有界定理进行运算。

 。所以显然数列 有界。

    继续对数列单调性分析，

得出 单调。由单调有界定理，数列极限存在，则设 。由题知数列递推关系，得到 ,得到 。于是 。

    例5 有数列 ，已知 求 。

    解：这里我们首先用均值定理去确定一下上下界。

由题知 。

所以数列有下界。又由于 。

则 单调递减。由单调有界定理知， 有唯一极限。设极限为 ，则 ，所以 。则 。

3。3夹逼定理

    如果数列 和 及 满足下列条件：

（1）当 时，其中 ，有 ，

（2）当 ， ；当 ， ，

那么，数列{ }的极限存在，且 ， 。文献综述

例6 求极限  解 在这里我们看到，这个数列不容易直接求出，这时候我们可以试着对数列进行放大和缩小，然后求出新的两个数列的极限，这两个数量极限相等，那么自然，原数列的极限就是这两个数列极限的公共值。

本题我们就可以对数列进行相应的放缩，得到两个数列则 。

恰好这两个数列的极限相等，那么夹在其中的原数列极限 。