矩阵QR分解方法及其应用及C++源程序(2)
3.6.3 实验结果分析 25
4 QR分解在求解线性方程组与线性最小二乘问题中的应用 25
4.1 求解线性方程组 25
4.1.1 Schmidt正交化解法 25
4.1.2 Givens变换解法 26
4.1.3 Householder变换解法 27
4.2 解线性最小二乘问题 28
5 QR分解在其他领域的应用 32
5.1 QR分解当前应用综述 32
5.2 QR分解在水印嵌入的应用详解 32
结 论 35
致 谢 36
参 考 文 献 37
附录A QR分解求特征值C++程序 38
1 绪论
1.1 研究背景及现状
作为数学中最重要的工具之一，矩阵大量运用在控制论、图像处理、机器人理论、生物学、物理学、经济理论等各个领域。凯莱作为矩阵理论的创立者，全面而详细地提出了矩阵的理论体系。之后经过弗罗伯纽斯等人的努力，矩阵的理论体系得到了进一步的丰富，继而形成了现代的成熟的矩阵理论。经过漫长的发展，矩阵理论已经形成了内容极其丰富的系统的理论和方法。上个世纪对无限矩阵理论的研究也取得了瞩目的成就[4]。
随着矩阵理论的成熟与发展，矩阵中的数据信息的处理与存放愈发成为一个突出问题。随之而来便产生了将矩阵进行分解的方法。分解得到的矩阵能够有效削减原始矩阵的文数，并且可以压缩和概括原始矩阵中存放的众多数据。在矩阵理论与近代计算数学中，矩阵分解的作用至关重要。矩阵分解的含义是指：把复杂的矩阵化成简单的或性质特殊的几个矩阵的积（和）。常见矩阵分解方法有三种：三角分解法 (Triangular Factorization)、QR 分解法 (QR Factorization)与奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。通过矩阵的分解可以达到简化计算的目的，另外在数值计算与最优化问题中都可用到。其中QR分解经常用来解线性最小二乘法问题，同时也是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，并且在实际应用中具有重要意义。
1.2 线性代数的一些基本概念
1.2.1 范数、线性赋范空间
定义1.1 若V是一个线性空间。存在V到R的一个映射 ，即对 ，都对应一个实数（记为 ）。使之具有性质：
（1）正定性：
（2）齐次性：
（3）三角不等式：
称 为V的范数。该空间称为赋范线性空间[1]。
另外， 上有三种常见的范数： ，
，为1-范数。
，为2-范数。
，为∞-范数。
1.2.2 Hessenberg矩阵
定义1.2 设矩阵 ，如果对 ，均有 ，则A定义为上Hessenberg矩阵，即
如果 ，则称矩阵A为不可约上Hessenberg阵[4]。
1.2.3 正定矩阵
定义1.3 若n阶方阵A对任何向量 都有 ，那么A叫做正定矩阵[5]。
1.3 Householder变换
1.3.1 Householder变换定义
定义1.4 设 是一个单位向量，令 ，则称H是一个Householder矩阵。该变换为Householder变换[1]。
1.3.2 Householder变换性质
若H是Householder矩阵，则其有如下性质[5]：
性质1： H是对称矩阵，即 ；
性质2： 是正交矩阵，即
；