矩阵QR分解方法及其应用及C++源程序(3)
性质3： ；
性质4： 是 阶Householder矩阵；
性质5：
Householder变换的几何意义就是反射变换。在下图 中，给一
个向量 ， 关于以 为法向量的平面 的反射后所得向量是 。
记 ， ，则 ，即：该变换是将向量进行反射变换，即镜像变换。
对 ，记 ，则有 ，这表明了 ，即 与 两个向量的长度相同，从上一性质中也可得到几何解释。
假如有两长度相同的向量 ， ，令 ， ，有 。
推论1.1： 是一个单位基向量，那么对于任意的 ，都有Householder矩阵H，使 ， [6]。
由推论可知，对任何向量 ，Householder变换均可将其化为与单位向量 共线的向量。
例1.1 使用Householder变换将向量 化为与自然基向量 共线。
解：由于 ， ，为使 为实数，取 ，令 ，则 ，因此 ，即化为与 共线。
1.4 Givens变换
1.4.1 Givens变换定义
我们知道Householder变换可以把一向量的若干相邻分量化零。若只需要将其中一个化零，则要用Givens变换。
给定某实数 ，记 ， ，矩阵 是一个 的正交阵，对 ， 表示将向量 顺时针旋转 角所得向量，我们将其推广至 ：
定义1.5 设 ， ，记n阶矩阵
，
称 为Givens矩阵或初等旋转矩阵，这里我们简记为 或 。显然， 是正交矩阵， 。且该变换并不改变向量的模[1]。
1.4.2 Givens变换性质
Givens矩阵有如下性质[1]：
性质1： 性质2： Givens变换 只改变x的第k个和第 个分量。
性质3： 设 , 那么有Givens矩阵序列的乘积 ，可使 。
性质4： 设 （n>1），且 ，那么有Givens矩阵序列的乘积 ，可使 。
若 ，则 的分量是： ，若使 ，只要选择 满足 .
若 ，取 。
若 ，那么 ，这样取的s,t可使 的第 个分量为0。
推论1.2：对任一向量 ，那么有Givens矩阵序列 ，可使 。该推论表明，对任意向量 ，Givens变换也能将其化为与单位向量 共线[9]。
例1.2 使用Givens变换将向量 化为与自然基向量 共线。
解：由 ，取 ，那么Givens矩阵取为 ，则 ；对 ， ，取 ，则 。即化为与 共线。
2 QR分解
QR分解具体有Schmidt正交化、Householder变换与Givens变换等方法。这些方法各有其优缺点。其中Schmidt正交化方法是长方阵的QR分解最常用的方法，这种方法直观易懂。与上一个方法对比，Givens变换方法不够直观，但拥有更小的计算量。Householder变换方法与上一个方法相似，且计算量更小，因此使用更加多一些。矩阵的QR分解被大量运用在求解矩阵特征值、线性方程组以及线性最小二乘问题中。