多元函数可积性的判别
定义1[1] 设 为 平面上可求面积的有界闭区域， 为定义在 上的函数，用任意的曲线把 分成 个可求面积的小区域
.
以 表示小区域 面积，这些小区域构成 的一个分割 ，以 表示小区域 的直径，称 为分割 的细度，在每个 上的任意一点 ，作和式
.
称它为函数 在 上属于分割 的一个积分和.论文网
是一个确定的数，若对任给正数 ，总存在某个正数 ，使对于 的任何分割 ，当它的细度 时，属于 的所有积分和都有
，
则称 在 上可积，数 称为函数 在 上的二重积分，记作
，
.其中 称为二重积分的被积函数， 称为积分变量， 称为积分区域.
定义2[1] 设 元函数 定义在 文可求体积的区域 上，照例通过 的分割，近似和取极限的过程，便可得到 重积分：
.
引理1[1] 在 上可积的充要条件是
，
其中 分别为 关于分割 的达布上和与达布下和.
引理2[1] 在 上可积的充要条件是，对于任给的正数 ，存在 的某个分割 ，使得
.
其中 分别为 关于分割 的达布上和与达布下和.
引理3[1] 设 是定义在有界闭区域 上的有界函数.若 得不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 在 上可积.
对于一元函数有下面的结论：
定理1[1] 设 在闭区间 上有界， ， ，若 在 上只有 （ ）为间断点，则 在 上可积.
证明 不妨设 ， 在 上的振幅为 ， ，取 ，因 ，
所以存在 ，使得当 时， ，从而 在 上至多只有有限个间断点，所以 在 上可积.
再由可积准则知，存在 上的分割 ,使
.把 与 合并，就构成 的一个分割 ，则 ，
故由可积准则知， 在 上可积（这时 为 在 上的振幅）.
把该定理推广到二元函数上:
定理2 设 在有界闭区域 上有界， ， ，若 在 上只有 （ ）为间断点，则 在 上可积.
证明 不妨设 ， 在 上的振幅为 ，这里的 是区域上的上确界减去下确界.若对任给的正数 ，任取 ,因为 ，所以存在正数 ,当 时，
，
故 在 内至多有有限个间断点.
由可积准则， 上的分割 ，使得
，
把 与 合并，就构成了 的一个分割 ， 为 在 上的振幅, 为 在 上的振幅， 是第 个小圆域的面积，
得到，
故由可积准则知， 在 上可积.
我们把它拓广到多元函数的情况，得到下面的推论.
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