函数的凹凸性在不等式证明中的应用
毕业论文关键词：函数的凹凸性;不等式证明；应用
目录
摘要 1
引言 2
1.预备知识 3
1.1 凹凸函数的定义 3
1.2 凹凸函数的图形特征 3
1.3 凹凸函数的性质、定理 4
2.函数的凹凸性在证明不等式的应用 5
2.1函数凹凸性在经典不等式中的应用 5
2.2 初等函数凹凸性在不等式证明中的应用 10
2.3函数的凹凸性在证不等式中数形结合的应用 14
3.结束语 15
参考文献 16
致谢 17
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
The Application of Concave Convex Functionsin anInequation
Abstract:Proof of Function irregularities inequality is an essential element of inequality is an important method to prove convexity functions is the mathematical analysis. In this paper, the definition of sexual function irregularities, as well as the nature of theorems, to take advantage of the function of some of the classic irregularities Elementary inequality and inequality to prove inequality and select appropriate examples summarize how the irregularities of the function to prove inequality general methods and ideas, and to further explore the proof of inequality and uneven application of the constructor function inequality.
Keywords:Function of concave and convex; Inequality proof; Application
引言
在学习数学中，我们遇到的不等式已经很多，且个别的不等式证明比较复杂，而不等式的证明方法又是我们学习中必须掌握的一个重要技能.不等式的证明方法有很多种，其中利用函数的凹凸性证明不等式方法是数学研究中常用的，也是我们重点要掌握的方法.
有些文献对函数的凹凸性在不等式证明方法进行了研究和讨论.如文献[1]-[3]给出了凹凸函数的定义以及函数的凹凸性几何图形特征；文献[4]-[6]都研究了凹凸函数的性质、定理；文献[7]-[13]主要讨论了函数凹凸性的在一些不等式上的应用，证明不等式利用函数的凹凸性，并对于这些不等式举出了相应的例子加以说明.
在前人研究的基础上，本文做出适当的扩展和补充，将通过具体的例题详细地归纳总结出如何利用函数的凹凸性证明不等式的一般方法、步骤及思路.对函数的凹凸性证明不等式进行了归纳，并分别给出了一些例题加以说明，具有较强的针对性.
1.预备知识
1.1凹凸函数的定义
定义1 ：设 为定义在区间 内的函数,若对 内的任意两点 和任意 总有
（1）
则称 为I内的凹函数.反之,如果总有
(2)
则称 为I内凸函数.
定义2 : 设 在区间上 连续，如果对上 任意两点 恒有 ，(3)
那么称 在上 是凹函数.
设 在区间 上连续，如果对上 任意两点 恒有
， (4)
那么称 在上 是凸函数.
如果(1)、(2)、（3）、（4）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
为利于使用，有时把不等式（1）改写成如下等价形式：