数学分析中反例及构造探讨
毕业论文关键词：反例 基本类型 反例构造 举反例
引言数学中的反例，是指数学命题不成立的例子，它是相对于数学命题而言的具体事例，是反驳和纠正错误的一种方法。
数学本身可以说就是证明和反例所组成。因此数学的发展也大致朝着与此相应的两个方向，即预料结论正确的，就应想方设法给出证明，怀疑猜想不真的，则需设法找出其反例。举反例的目的就是为了说明被考察的命题不真，这无异于断定它的反面成立。因此举反例实质上也是反证法，只不过是应用范围更加特殊而已。反例作为数学中的两大论证方法之一，当然利用反例论证数学分析中的定理、性质，深化对这些命题的理解，在教学中也是相当重要的。但是，犹如证明没有万能的方法一样，构造一个反例也不是一件轻而易举的事， 这主要是由于数学本身的抽象性所致。因此构造反例时常感到无从下手，头脑中形不成完备的反例形式。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好《数学分析》是学好其他后继数学专业课程必备的重要基础，比如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，概率论与数理统计等都是以数学分析为基础的课程。作为数学专业最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。特别是《数学分析》中许多重要的概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，因此教师在教学中应该随时用反例来修正学生对知识理解时出现的错误，帮助学生走出对概念理解的误区。
1.反例的概念及类型
数学中的反例，指符合某个命题的条件,而又不符合该命题结论的例子，简单的说，反例就是一种指出某命题不成立的例子。在此讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑基础上的，有一定作用的反例。举反例也是一种证明方法，它可以证明“某命题不成立”为真。一个假命题的反例可能有一个，也可能有多个，在举反例时只需要选用其中的一个即可。
反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，数学上常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例。
1.1基本形式的反例
数学命题有4种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。其中全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例，全称否定判断与特称肯定判断可以互为反例。
例1.“所有初等函数在定义域内都连续，故都存在原函数，且原函数都可以用初等函数表示。”这是一个全称肯定判断，可以举出一个特称否定判断的反例来说明其不真，如： 在 处连续，其原函数却不能用初等函数表示。