图像Poisson去噪方法研究现状(2)
我们从数学的角度可以发现，噪声和图像边缘往往出现在图像密度函数梯度较大的地方。利用传统的线性滤波方法，去除了噪声的同时也模糊了图像的边缘。比如，拉普拉斯算子可以有效地去噪，但是还造成了图像边界的模糊。为了消除图像中梯度较大的区域，且不能减弱边界，也即是去噪同时保护边缘，人们利用非线性的偏微分方程模型进行去噪。
变分去噪模型根据不同问题建立不同的数学模型，进一步解决这个模型解的唯一性、存在性、稳定性等问题。其中，ROF模型具有很好的去噪和保持边缘的能力，成为了最成功的图像恢复工具之一，而且人们还理论和算法上不断对该模型进行改进。
下面我们将列举几种变分去噪模型：
假设我们接收到的含噪图像 是原图像u被加性噪声η干扰所形成的
=u+η
在许许多多去噪模型中，我们常常采用变分法和最优化方法进行去噪，其中由Rudin-Osher-Fatemi[31]提出的全变分去噪模型(ROF)可能是最成功的一个，其成功之处主要依赖于总变差（TV）正则化，这使得ROF模型在去除图像噪声的同时又很好地保留图像的边缘、纹理等细节信息。ROF去噪模型的定义就是最小化下式：
其中，参数 为正数，u定义在连续区域
尽管ROF去噪模型具有许许多多良好的性质，然而，在某些环境下，他也会产生一些不好的性质。例如：图像对比度的下降、边缘的污损和阶梯效应。Meyer[21]向我们展示了ROF模型不能够保持图像对比度和边角信息，Bellettini, Caselles, and Novaga[4] 指出了ROF模型可以让什么样的形状得以保留，这就表明了ROF模型会模糊图像的边缘。有的学者对ROF模型的这些不好的性质全都进行了讨论。为了克服ROF模型的这些不好性质，人们提出了高阶去噪模型。这些去噪模型除了能够很好地去除了噪声、保留图像纹理、边缘等细节信息之外，阶梯效应也得到了有效的改善。
Luttman和Bardsley[47]考察了泊松噪声图像的TV正则化项。基于交替方向最优化方法，Figuriredo和Bioucas-Dias提出了一个处理含有TV函数的泊松噪声的方法。Setzer[48]等人，最小化含有Kullback-Leibler散度作为保真项和TV正则项的能量方程，从而复原被泊松噪声污染的图像。
为了让去噪后的图像能够很好保持边缘等细节信息的同时重建被泊松噪声污染的区域，Le Jiang, Jin Huang[11]等人结合了一阶和二阶的TV法。该方法有效地降低了阶梯效应，也很好地保持了边缘等细节信息。
PabloRuiz[10]等人结合了TV模型和PSI模型，从而提出了一种新的泊松去噪模型，该模型同时拥有TV模型可以很好地保持边缘信息和PSI模型可以很好地保持纹理的优点。
3 更多的 Poisson去噪方法
除了上述的两种基本方法之外，更多的高斯去噪方法都可以扩展应用到泊送去噪中。如基于稀疏表示和字典学习的方法，非局部均值的方法等。文献[15]探索了自然图像的重尾梯度分布方法，基于稀疏和冗余表示，Elad和Aharon[49]提出了一个有效的去噪方法（K-SVD）,Liyan Ma[14]等人建立了一个针对泊松噪声的稀疏表示去噪模型，该模型包含三个部分:一个基于小块的优于字典学习的稀疏表示,基于像素的全变差正则化项和描述泊松噪声的统计量特征的保真项。运用交替最小化技术并结合变量分裂法就可以解决接下来的优化问题。大量的实验结果表明,在视觉效果和PSNR值方面,该算法都优于最先进的去噪方法。另一个依赖于稀疏表示的著名去噪方法就是Dabov[48]等人提出的BM3D去噪算法。Raja Giryes和Michael Elad[15]针对图像块，提出了线性稀疏表示建模。对于高信噪比，该去噪模型表现很好，对于低信噪比，该去噪模型可以得到很好的去噪结果。
上一篇：基于曲率的图像泊松去噪模型及方法
下一篇：数学史价值在中学数学教学中的实现