数学分析中的反例
毕业论文键词 数学分析; 函数; 反例;
定理在数学的学习中，有时不容易用理论来说明命题的成立与否，对于不成立的命题，构造恰当的反例，能有效地帮助我们清楚地进行判断．反例是针对数学命题而言的，反例的构造有助于反驳与纠正错误的数学命题．在数学分析中存在大量的反例，当一个定理或命题的条件减弱或是使用范围变化了，都需要用反例来验证它们的成立于否．反例能帮助人们深入的理解有关数学对象的性质，能推动数学科学发展，也能促进人的辩证思文方式的形成
．1 一元函数中的反例
1.1一元函数极限中的反例定理 1.1.1 设 A x fx x) ( lim 0， B x fx x) ( lim 0． 若在某 ) ( 00x U 内， ) ( ) ( x g x f ，则B A ．问题 1 若在某 ) ( 00x U 内， ) ( ) ( x g x f ，问是否必有 B A ?解 不一定有 B A ．例如 0 ) ( x f ， 2) ( x x g ．在 0 0U 内有 ) ( ) ( x g x f ，但 0 ) ( lim lim 0 0 x g x fx x．问题 2 若 B A ，则在某 ) ( 00x U 内是否有 ) ( ) ( x g x f ?证 有 ) ( ) ( x g x f ．由函数极限的定义，对 02B A ，分别存在正数 1 与 2 ，使得当 1 0 0 x x 时有23) (2B AA x f AB A ，当 2 0 0 x x 时，2) (23 B AB x g BA B ．于是取 2 1, min ，则当 0 0 x x 时，有223) (2) (23 B Ax fB Ax gA B ．即当 ) , ( 00 x U 时，有 ) ( ) ( x g x f ．定理 1.1.2 若 A x fx) ( lim 0，则 A x fx) ( lim 20．问题 1 若 ) ( lim 20x fx存在，试问是否成立 ) ( lim ) ( lim 20 0x f x fx x ?解 不一定成立．例如 . 0 , 1, 0 , 0, 0 , 1) sgn( ) (xxxx x f 则 . 0 , 0, 0 , 1sgn ) (2 2xxx x f1 ) ( lim 20x fx，但 ) ( lim 0x fx不存在．问题 2 若 ) ( lim 30x fx存在，试问是否成立 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ?证 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x 成立． 设 A x fx) ( lim 30． 则 0 ， 0 1 ， 使得当 1 0 x时， 有 A x f ) (3． 取 031 ， 则当 x 0 时， 130 x ， 从而有 A x f ) ( ，故有 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ．例 1.1.1[1]在运用洛必达法则求不定式极限时，会遇到下面问题:（1）若 ) () (lim 0 x gx fx x 不存在，能否说明 ) () (lim 0 x gx fx x不存在?（2）能否对任何比式极限都按洛必达法则求解?解 在运用洛必达法则求解时，首先必须注意它是不是不定式极限，其次还要满足洛必达法则的其他条件．下面的例子就能解决上面的疑问．例如 1sinlim xx xx．虽然是 型，但若果不考虑条件就使用洛必达法则，将得出1cos 1lim sinlim xxx xx x ．由右式的极限不存在容易得到原极限不存在的错误结论．1.2一元函数连续性中的反例定理 1.2.1 若 f 在点 0 x 连续，则 f 与 2f 也在点 0 x 连续．问题 1 若 f 或 2f 在I 上连续，那么 f 在I 上是否连续?解 f 在I 上不一定连续． 例如. , 1, , 1) (为无理数为有理数xxx f f 和 2f 在R 上连续， 而 f 在R上不连续．定理 1.2.2 f 在 , a 上连续，且 ) ( lim x fx 存在，则 f 在 , a 上有界．问题 1 f 在 , a 上必有最大值或最小值吗?解 f 在 , a 上不一定有最大值或最小值．例如 xx f1) ( 在 , 1 上连续，0 ) ( lim x fx，但 ) (x f 在 , 1 上无最小值．定理 1.2.3 设I 为有限区间，若 f 在I 上一致连续，则 f 在I 上有界．问题 1 当I 为无限区间时，结论是否成立?解 结论不一定成立．例如 ) , ( , ) ( x x x f ． 0 ，由于x x x f x f ) ( ) ( ，故可选取 ，则对任何 ) , ( , x x ，只要 x x ，就有 ) ( ) ( x f x f ．这就说明 f 在R 上一致连续，但 f 在R 上无界．定理 1.2.4 g f , 在区间I 上一致连续，若I 为有限区间， g f 在I 上一致连续．问题 1 若I 为无限区间，结论是否成立?解 结论不一定成立．例如 x x g x f ) ( ) ( ， , 0 I ． g f , 在区间I 上一致连续．但2) ( ) ( x x g x f 在 , 0 上不一致连续．事实上， I x x , ， x x x x x x 2 2，当 x x 时，只须取 x x ，便有 2 2x x ，不满足一致连续定义．1.3一元函数可导与连续的关系定理 1.3.1 若函数 ) (x f 在点 0 x 可导，则函数 ) (x f 在 0 x 连续．问题 1 若函数在一点连续，函数在该点是否一定可导?解 函数在该点不一定可导．例如 x x f ) ( 在 0 x 连续，但在 0 x 不可导．问题 2 若 ) (x f 在 0 x x 处可导， ) (x f 在 0 x x 处是否有连续导数?解 ) (x f 在 0 x x 处不一定有连续导数．例如 . 0 , 0, 0 ,1sin) (2xxxxx f 在 0 x 处可导但导数不连续．事实上，
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