平面几何中辅助线添加的暗示源分析
因此，怎样添加辅助线对于解决平面几何问题是关键的一步，所以它既是学生学习的难点，又是老师教学的重点.辅助线添加的暗示源分析的研究对于帮助学生理解、解决平面几何中的问题，帮助教师更好的把握问题的关键，更好的教学有很大的帮助.1 根据已知条件添加辅助线的暗示源分析在证明平面几何习题时，一般都从题目的已知条件出发，经过推理证明得出题目的结论.这里，已知条件是证明几何习题的基础.因此，从已知条件里能够找到一些线索来添加辅助线，这正是人们经常运用的一种解题方法.
1.1 暗示源一：已知条件里有中线 （常延长已知中线的一倍）目的是利用全等三角形或平行四边形的性质，从而变换原图中某些角或某些线段的位置，使相关的、分散的条件得以集中，以便沟通已知条件与题目结论之间的联系.例 求证：三角形一边的中线小于其它两边的和的一半已知：在 ABC 中， DC DB .求证： ) (21AC AB AD 证明： 如图， 延长AD 到E ， 使 DC DE ,连接BE . DC DB ，BDE ADC ，AC BE BDE ADCDE AD 则,在 ABE 中， AD BE AB 2 (三角形两边之和大于第三边） ，) (212AC AB ADAD AC AB 即分析：本题已知有中线，就能得到两条相等的线段，这就暗示我们构造全等三角形.所以延长中线以构造全等三角形.本题延长中线以后，通过全等三角形对应边相等的性质，将原图中的线段 AC 变换至 BE 的位置，从而将相关线段 AD AC AB 、 、 集中于 ABE 中，最后利用“三角形两边之和大于第三边”这条定理，使本题得以解决. 论文网
1 .2 暗示源二：在解有关圆的问题中，已知条件中有已知弦 (作已知弦的弦心距）目的是利用垂径定理，以便扩大思路使题目得证.例 如图，直角三角形两直角边AC 长 8 厘米，CB 长 15 厘米，以为C 圆心，CA 为半径画弧交斜边于D,求AD 的长.思路： 因为 ABC 为直角三角形， 且两条直角边 CB AC、 的长为已知， 所以根据勾股定理，易求出斜边AB 的长. AD 是斜边AB 的一部分，而它们之间又没有量的关系，因此，不添加辅助线，要想直接求出AD 的长是不可能的.为了添出合理的辅助线，还是先从分析已知条件入手，“以C 为圆心，CA 为半径画弧交斜边于D ”是本题的已知条件，对于这个条件我们不妨引申一步，若将此弧所在的圆画出，AD 便成了此圆的一条弦.作出弦心距AE ，则根据垂径定理，垂足 E 将欲求的线段 AD 平分，这样只要求出 AE 的长就可以了，AE 的长可利用射影定理求得.解： 从C 作CE AD 于E ，则 ED AE （垂径定理） 90 ACB ，CE AD ，则 AB = 17 15 8 2 2 (勾股定理） 90 ACB ，CE AD ，则 AE AB AC • 2 （射影定理） 17642 ABAC AE AD1797 217642 • AE答：AD 长 1797 厘米.分析：在本题中条件中有已知弦，知道已知弦就要想到圆的弦的性质，垂直于弦的半径平分弦.从这里看出暗示我们辅助线的添加方法.1.3 暗示源三：已知切点和圆心 （通常连接已知切点和圆心）目的是利用切线的性质， ，得到垂直关系；或是利用弦切角定理得到两个角相等的关系，从而为证明提供出新的条件.例 在 ABC 中， AC AB ，以AB 为直径作圆O交BC 与D，过D点作圆O的切线，交AC与M .求证： AC DM 思路：这个题目要证明 AC DM ，即要证明两直线垂直.对于这类问题，一般应设法找到这个欲证的结论与已知条件中的垂直（或直角）的关系，然后以已知条件为依据，推出本题的结论.但是这个题目的已知条件中既无垂直也无直角.为了使其垂直或得到直角，就要设法通过添加辅助线，使已知条件得到转化而间接推出.由于已知条件里有“DM 与圆O相切”这一条件，根据“过切点的半径垂直与切线”这一性质，连接圆心O与切点D 以后，即得 DM OD ，这样就为本题推出的结论 AC DM 制造了一个关键的条件.若再能证出AC OD// ，则本题即可得证.证明： 如图，连接OD . DM 切圆O与D. DM OD . AC AB C B . //AC OD C ODB., 于是B ODBOD OB AC DM 分析：本题中，已知圆的切线和圆心，看到切线就要想到切线与圆心的关系，切点与圆心的连线垂直于切线，所以这就为我们添加这道题的辅助线提供了依据.1.4 暗示源四： 已知条件中有角平分线当题目中的已知条件中有角平分线时，常按以下情况添加辅助线：（1）如图 1，若AD 为 BAC 的角平分线，可在点D作 AB DB ， AC DC ,以便造成全等的直角三角形：（2）如图 2，若AD 为 A 的平分线，且 AC AB 时，可在AB 上截取 AC AE ，连接DE ，以便构造全等三角形.（3） 如图 3， 若AD 为 A 平分线， 且 AC AB 时， 可延长AC 至E ， 使 AE AB ， 连接DE ，以便构造全等三角形.（4）如图 4，若 AD 为 A 的平分线时，可从C 点作 AD CE ，延长交AB 边与F ，以便利用等腰三角形或全等三角形的性质.2 根据图形的性质添加辅助线的暗示源分析平面几何学是研究平面上的几何图形的性质、作法和计算等问题的一门学科.平面几何学中所研究的图形从最简单的点、线开始，进而研究三角形、四边形和圆.研究图形的性质始终贯穿于平面几何学的始终，所以辅助线的产生往往也来自于对图形性质的分析.2.1 暗示源一：过一点作已知直线的平行线例 求证：对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：如图，在梯形ABCD中， AB DC // ， BD AC .求证：四边形ABCD是等腰梯形.证明：如图，从C 作 DB CG // 交AB 的延长线与G ，则 BGCD是平行四边形 BD CG , G ABD .
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