数学归纳法的内蕴思想探究(2)
这是它与归纳法的本质区别，一般的归纳法只是一种推理，与真正的命题有悬殊.但是归纳法是数学归纳法能够得到运用的基础，因此，在教学中要注重他们的相互配合.2 数学归纳法有其他形式吗？除了第一数学归纳法，数学归纳法还有其它几种形式.2.1 第一数学归纳法（又称数学归纳法）设 ) (n P 是一个与自然数n有关的命题，如果(1)当 1 = n 时， ) (n P 成立；(2)在 k n= （ N k ∈ ）时 ) (k P 成立的前提下推出 1 + =k n 时 ) 1 ( + k P 也成立；那么命题 ) (n P 对任何自然数n都成立.以上给出的就是第一数学归纳法，简称数学归纳法，它是数学归纳法的标准形式，它还有两个推论的形式：推论一：设 ) (n P 是一个与自然数n（ m n> ， N m∈ ）有关的命题，如果（1） ) (n P 在 m n = 时成立；（2）在 ) (k P （ m k ≥ ）成立的前提下，可以推出 ) 1 ( + k P 成立.那么 ) (n P 对于不小于m 的自然数n都成立.推论二：设 ) (n P 是一个与自然数n有关的命题，如果（1） ) (n P 在 l n , , 3 , 2 , 1 … = 时成立；（2）在 ) (k P （ N k ∈ ）成立的假定下，可以推出 ) ( l k P + 成立.那么 ) (n P 对于所有的自然数n都成立.2.2 第二数学归纳法第二数学归纳法依据的是自然数的良序性，即最小数原理（自然数的任一非空集合 M必有最小数） ，它与归纳公理是等价的命题.设 ) (n P 是一个与自然数n有关的命题，如果（1）当 1 = n 时， ) (n P 成立；（2）假设 ) (n P （ N k k n ∈ , ≤ ）成立，在此前提下推出 ) 1 ( + k P 成立.那么 ) (n P 对于所有的自然数n都成立.2.3 跳板数学归纳法设 ) (n P 是一个与自然数n有关的命题，如果（1）当 2 , 1 = = n n 时 ) (n P 成立；（2）设当 k n= （ N k∈ ）时 ) (n P 成立，在此前提下推出 1 + =k n 时 ) (n P 成立.那么 ) (n P 对于所有的自然数n都成立.2.4 反向数学归纳法设 ) (n P 是一个与自然数n有关的命题，如果（1） ) (n P 对无穷多个自然数n成立；（2）在 ) 1 ( + k P 成立的假定下，可以推出 ) (k P 成立.那么 ) (n P 对于所有的自然数n都成立.3 数学归纳法蕴含了哪些思想？数学归纳法不仅是数学中的一种重要的证明方法，其本身还蕴含了许多重要的思想.3.1 公理化思想所谓公理化方法就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法.其程序是大前提、小前提和结论.数学归纳法证明的过程就用了公理化的方法，数学归纳法的证明原理利用的也是公理化方法.大前提——归纳公理保证了数学归纳法的合理性， 小前提——数学归纳法保证了证明过程，最后才有了结论的正确性.如果没有这样的皮亚诺公理做保障，那么数学归纳法的合理性就有待商榷，更别提用它来证明数学命题了.
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