导数在初等数学中的应用(2)
存在,就称函数 在点 处可导,并称该极限为函数 在点 处的导数,记为 .也可以说 在点 可导或有导数,若极限不存在，则称 在点 处不可导.
定义2 如果函数在一个区间 上的每一个点都可导（对区间的两个端点,只关心相应的单侧的导数）,就称 为 上的可导函数.这时对每一个 ,都有 的一个导数 （或单侧导数）与它对应.这样就定义了一个在 上的函数,称为 在 上的导函数.也简称为导数.记作 , 或 .
定义3 若函数 在点 的某领域 上对一切 有
，
就称函数 在点 有极大（小）值,称点 为极大（小）值点.极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点.
定义4 对函数 的定义域内任意的 满足 时,若 ，则 单调递增.若 则 单调递减.
定义5 设 是曲线 上一定点, 是该曲线上的一动点,从而有割线 ,令 沿曲线无限趋近 ,则割线 的极限位置是曲线 在 点的切线（如果极限位置存在）.
定义6 在区间 内,如果曲线位于其任意一点处的切线的上方,那么曲线在 内是凹的;如果曲线位于其任意一点处的切线的下方,那么曲线在 内是凸的.
定义7 如果当自变量 或者 时，函数 以某一常数为极限，即
则直线 是曲线 的渐近线.
1.2相关定理
定理1 如果一个函数 在某个点 可导,就称 在点 连续.
定理2 假设函数 在 上连续,在 内可导,
⑴如果在 内 ,则函数 在 上单调增加；
⑵如果在 内 ,则函数 在 上单调减少.
定理3 设函数 在区间 上存在二阶导数 ,
⑴如果区间 上 ,则曲线 在区间 上是凹的, 称为曲线的凹区间;
⑵如果区间 上 ,则曲线 在区间 上是凸的, 称为曲线的凸区间;
⑶如果 , 在点 有定义, 或者 不存在,在 左右的两侧 符号不一样,则 为 的拐点.
上一篇：小学语文后进生转化策略的行动研究