利用高等代数方法解决一类分母有理化
毕业论文关键词 行列式；计算方法与技巧；有理化；带余除法
不论是在初等数学还是高等数学中，分母有理化都是一个十分重要的内容，通常情况下我们使用平方差公式对形如： 的分式进行分母有理化，使之恒等的化为 的形式，但若分母上不止二次根式，有三次甚至 次根式的时候平方差公式就不是很好用了.在初等数学的范围内，对于形如 的代数式分式，我们几乎是束手无策的，于是我们应该换一个角度来思考这个问题——利用高等代数的知识进行思考.本文将从行列式和多项式两个方面解决这一问题.
一、行列式法
首先我们来从一道研究生入学考试高等代数真题入手：
例1 （华东师范大学2008高等代.20）
易知，当 、 是不全为零的有理数时，成立等式
（1）证明：当 、 、 为不全为零的有理数时，有
（2）请将（１）中的公式推广到一般情形.
证明 ，
即有：
，
从而得证.
推广 通过观察上式，若将2和4换成字母 表示则可以得到一个普遍的规律即：
（*）.
思考 对于例1这道真题的第一问，我们其实采用的是验证的方法，验证了该式确实是恒等的.那么，我们有没有其他方法证明呢？
定理1 齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
的行列式值为零.
为了对分母进行有理化，我们不妨将分母设为一个整体 来进行考虑.对其做如下处理：