变量代换在微积分中的应用(2)
1.变量代换概述
1.1变量代换的定义
对于一些结构较为繁琐、变元较多的数学问题，用一些新的变量进行代换，以使其结构简化，疏导量与量之间的关系，从而达到解决问题的目的的这种方法叫做变量代换法.
1.2变量代换的意义
变量代换法不仅是一种有效的解题方法，更是一种数学思文.尤其是处理一些比较复杂的问题，合理采用代换提炼问题，揭示问题本质，优化解题过程有着重要的作用.变量代换在求解部分微积分的问题有实际应用，使得一些问题迎刃而解.
1.3变量代换的分类
上文中已经提到变量代换可运用到不同的领域当中，因此这种方法也具有不同的分类.常见分类有：整体代换法、局部代换法、三角代换、分式代换、增量代换法、对称代换法.
2.变量代换在微分中的应用
定义1 如果一阶微分方程具有形式 ,则该方程称为可分离变量微分方程.
若 ,则可将方程化为 .即将两个变量分离在等式两端.其特征是：方程的一边只含有 的函数与 ，另一边只含有 的函数与 .对于该类方程，我们通常采用分离变量的方法来解决.
例1 求解方程 .
解 对原方程变量分离，得到 ,两边积分，即得 , 因而，通解为 ,这里 是任意正常数.或者解出 写出显函数形式的解
对于上面的类型，采用分离变量的方法来求解，对于有些不能直接运用分离变量的，我们可以寻找合适的变量将其转化为分离变量方程.以下介绍几类可以转化为用分离变量求解的方程.
2.1 一阶齐次方程
(i) 形如 的齐次方程
令 ,即 ,于是 .代回原方程，整理得
.
这是一个变量分离方程，因此可求出其通解.
例2 解方程
解 令 ，故原方程可化为 ，分离变量为 ，两边同时积分，有
,
这里 为任意常数.
所以，原方程的解为 .
注 该类型还可以推广到形如 .
(ii) 形如 的齐次方程（其中 为常数）
作变量代换， 可将方程化为分离变量方程，将 和
代入方程，整理后可得： .
例3 解方程 .
解 将方程整理后得: ,故令 ,代入后得
分离变量后，两边积分可得 ，再代回原变量，得方程的通解为 .
(iii) 形如 类型的方程（ 均为常数） （1）
对于该类方程分以下三种情况讨论：
① （常数）情形
这时方程化为 有通解 .（其中c为任意常数）.
② 情形
令 ,这时有 是变量分离方程.
③ 情形
如果方程⑴中 不全为零，方程右端分子分母都是 , 的一次多项式，因此
, （2）
代表 平面上两条相交的直线，记交点为 .若令 ， 则（2）化为 从而⑴变为 .
因此，解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（1）的解.如果方程（1）中 可不用求解（1）,直接取变换 即行.
例4 求解方程 .
解 解方程组 得 令 代入原方程，则有 再令 即 ,则有 两边积分得，
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