变量代换在微积分中的应用(3)
,
因此 , 记 ,并代入原变量，得
,
.
另外，可以验证 ,即 .也即是方程 的解. 因此，原方程的通解为 .其中c为任意常数.
2.2伯努利方程
形如 的方程称为伯努利方程，这里 , 为x的连续函数, 是常数.
求解伯努利方程旨在将其利用变量代换化为线性微分方程.事实上，对于 ，用 乘 两端，得
, （3）
引入变量变换
, （4）
从而
. （5）
将(4）（5）代入（3）得到 .
这是线性微分方程，可根据线性微分方程求解的方法求它的通解，然后代回原来的变量，便得到 的通解.此外，当 时，方程还有解 .
例5 求方程 的通解.
解 这是伯努利微分方程.当 时，令 ，算得 代入原方程得到 ,即是线性微分方程了，求得它的通解为 代回原来的变量 ，就可以得 即是原方程的通解.
此外，方程还有解 .
2.3黎卡提方程
形如 的方程称为黎卡提方程 .
一般情况下，黎卡提方程不能用初等积分法求出.如果知道它的一个特解 ，则作变换 代入原方程化为以 为未知函数的伯努利方程
，
从而可对伯努利形式的方程就可以用初等积分法来求解.
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