初等变换的应用(2)
2.9.2用矩阵的初等变换判定一个多项式有无重因式 29
参考文献 30
致谢 31
初等变换的应用引言
矩阵的初等变换是高等代数中的一个基本概念.它计算简洁，便于应用，是研究代数问题的一个重要工具，用初等变换去解决高等代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果.之所以把初等变换特别拿出来讨论，首先是因为它在整个高等代数中的无所不在的作用力.只要我们小小思考一下，不难发现，初等行变换几乎贯通整个高等代数.它是研究高等代数不可缺少的工具，换句话说，如果没有初等变换的存在，我们在高等代数中可以说是寸步难行.其次，初等行变换在研究矩阵、行列式方面给我们提供了另一个思考方向，开辟了另一个更广阔的空间.再次，初等变换使得矩阵和行列式的运算更为直观又简便，符合数学领域的高追求，等等.
本论文讨论了初等变换在高等代数许多理论中的应用，如用初等变换求矩阵的秩和矩阵的逆矩阵；用初等变换的思想解决在多项式理论中的最大公因式、重因式等问题；初等变换与向量的关系，基本概念有向量的线性表示、向量组的线性关系、向量组的等价、向量组的极大无关组等.文献[1]和文献[2]这两本讲义在介绍矩阵的初等变换方面，文字简洁流畅，脉络清理，内容由浅入深，循序渐进，为本论文提供了充分的定义和定理等理论知识，奠定了本论文的理论基础.文献[3]介绍了用初等变换求逆矩阵的方法，简单明了，非常实用.文献[4]给出了用初等变换求解矩阵方程的方法.该方法利用了矩阵解线性方程组的方法，拓展了矩阵方程的范围，对于系数矩阵不可逆，甚至不是方阵的情形也有了满意的解法.文献[5]一反以往文献中先给出线性方程组的通解，再对自由未知量赋值进而确定基础解系的常规程序，通过对增广矩阵的初等变换，直接给出基础解系和一个特解.文献[6]依据矩阵初等变换的定理及其性质，证明了任意一个 n 阶复矩阵 A ，都存在一个 n 阶可逆矩阵 P ，使得 P^(-1) AP=Λ 为一个上三角矩阵，从而把求任意一个 n 阶矩阵的特征值的问题通过初等变换转化为求上三角矩阵的特征值的问题，并给出了求解的具体步骤.文献[7]针对特征矩阵施行初等变换，提出了求出矩阵特征值和特征向量的一种方法，从而以简捷的方式将矩阵相似对角化.文献[11]利用矩阵的初等变换的方法来解决向量空间中线性相关性、极大无关组这类问题，该方法简便、明了，在实际运用中较为方便.
本论文在编写过程中，注重知识的引入，并且联系实际，加强应用，归纳总结初等变换在高等代数中的一些基本应用并举例说明.首先写出初等变换的定义，然后对其相关的各方面的应用进行探讨，思路清晰，每部分知识之后均有例题和讲解，并给出了详细的步骤及文字说明，便于理解和进一步研究.通过对初等变换及其应用的讨论加深对初等变换的理解，从而能更加灵活的运用初等变换解决一些具体的问题.
初等变换的相关概念及性质
1．1初等变换的相关概念
定义1：由 m×n 个数 a_ij (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n) 排成的 m 行 n 列的数表
■(a_11&a_12&⋯&a_1n@a_21&a_22&⋯&a_2n@⋮&⋮& &⋮@a_m1&a_m2&⋯&a_mn )
称为m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵.为表示它是一个整体，总是加一个方括弧（或圆括弧），并用大写黑体字母来表示，记作
A=(■(a_11&a_12&⋯&a_1n@a_21&a_22&⋯&a_2n@⋮&⋮& &⋮@a_m1&a_m2&⋯&a_mn )).
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