二次曲面的渐近线研究
毕业论文关键词： 二次曲面 渐近线 直母线
The Asymptotic Curve of the Quadratic Surfaces
Abstract In this paper,we mainly discusses the asymptotic curve of quadratic surface equationof quadratic surface in the form of implicit function is given the differential equation ofthe asymptotic curve. At the same time, we classify the quadratic surface according to theexistence of the asymptotic curve. We also strictly proves the this theorem that straightedge line is the only asymptotic curve of quadratic surface .
KeyWords: quadratic surface Asymptotic curve Straight edge line
目录
摘要Ι
AbstractⅡ
目录Ⅲ
1绪论1
2预备知识2
2.1二次曲面2
2.2渐近线2
3定理1的证明5
4定理2的证明8
5小结10
参考文献11
致谢12
1 绪论我们在研究微分几何的过程中,发现渐近线是曲面的一个重要性质特征.而二次曲面是解析几何的重要组成部分,两者联系了微分几何和解析几何.因此,对二次曲面的渐近线的研究具有重要意义.事实上,从形的角度我们对二次曲面的渐近线已经有了一定的认识.比如,我们确实知道椭球面上没有渐近线,这是因为椭球面是一个封闭的曲面.虽然可以如此理解,但未见严格的数学证明.为此做出本文,从方程的角度讨论二次曲面的渐近线,给出了二次曲面渐近线的求解方法.在微分几何中多是讨论参数形式的二次曲面方程,但是有些二次曲面的方程并不是参数方程的形式.因此,关于隐函数形式的曲面方程的渐近曲线微分方程的讨论是有必要的.本文给出了隐函数形式的二次曲面方程的渐近曲线方程的求解定理,并利用该定理以及微分几何的知识讨论了九种二次曲面的渐近曲线问题,证明了二次曲面的渐近线只有直母线这一定理.即下面给出的两个定理.定理1 隐函数形式的方程Σ： ( , , ) 0 F x y z 的渐近曲线方程2 2 222 2 2( 2 )2( )( 2 ) 0xx z x z xz zz xxy z y z xz x z zy x y zzyy z y z yz zz yF F F F F F F dxF F F F F F F F F F F dxdyF F F F F F F dy （1-1）定理 2 只有直母线是二次曲面上的渐近线. 2 预备知识2.1 二次曲面正文内容 如果曲面Σ上任意一点M 的坐标都满足方程 ( , , ) 0 F x y z ,而且坐标满足方程的的点都在曲面Σ上,那么该方程就叫做曲面Σ的方程,而曲面就叫做该方程的图形.如果曲面的方程式二次方程,那么该曲面就是二次曲面[1].常见的二次曲面有柱面、锥面、椭球面、双曲面、抛物面,共九种.2.2 渐近线如果点P 是曲面的双曲点,则它的迪潘指标线有一对渐近线,沿着渐近线的方向( ) : d du dv 称为曲面在P 点的渐近线方向.并且这两个渐近方向满足方程：2 20 0 0 0 L du M dudv N dv 其中 0 L 、 0 M 、 0 N 分别表示L 、M 、N 在点P 的值.由法曲率的公式 21n k 也可以得到渐近方向的等价定义： 曲面上的一点P处使得 0 n k 的方向称为曲面在P 点的渐近方向,其中 1 、 2 分别是曲面的第一、第二基本形式.曲面Σ：r , r u v 上的曲线Γ：uu s ,vv s 上每一点的切方向都是渐近方向,称曲线Γ为曲面Σ上的一条渐近曲线[2],渐近曲线的微分方程是：2 20 Ldu Mdudv Ndv （2-2-1）引理[2]在微分几何中研究二次曲面的渐近线都是针对其参数方程进行的.对于曲面的特殊的参数表示 ( , ) z z x y ,二次曲面的渐近线微分方程为
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