关于组合和递推关系的进一步探究
关键词 组合数；组合数公式；递推关系
一、引言
二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地，二项式的展开式为：
，
其中 称为二项式系数或组合数.41488
关于组合数求和的公式，也就是组合公式，很多组合数学的书里已经讨论了很多，在参考文献[1—3]里已经给出了一系列的组合公式. 然而还有大量的、有趣的组合公式等着我们去发现、去研究. 在上述的二项式展开式中，可以令 ， ，得到 ；同样地，令 ， ，得到 . 文献[4]将其推广得到 .文献[6]在此基础上，并进一步得到如下结论：
定理[6] 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系论文网
.
推论1[6] 设 是正整数，则有组合恒等式 =
推论2[6] 设 是正整数，则有组合恒等式 = .
推论3[5] 设 是正整数，则有组合恒等式 = .
本文是在文献[4]、[5]、[6]的基础上，从新的组合数求和式出发，利用初等的方法及组合公式 ，给出了这些组合数求和式的递推关系式.
二、定理和定理的证明
下面就某些有趣的组合数求和式，我们来讨论研究它们存在的某种递推关系.
在这里，将 进行改变，得到新的组合数求和式，即 .再运用初等方法和组合公式 ，得出新形式下的组合数和的递推关系式. 即
定理1 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系
证明 由组合数公式 ，得
因此有
类似地，对其他几类有趣的组合数和式，我们也找出了其存在的递推关系，如下：
定理2 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式
.
证明 由组合数公式 ，即 ，得
因此有
.
定理3 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式
.
证明 同上，利用组合数公式 ，得
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