摘要排序不等式是一个基本不等式，在许多数学分支中都有着重要的应用.本文归纳整理了排序不等式的证明方法，研究了排序不等式在诸多不等式证明中的应用，并从不同的角度对排序不等式进行了推广.41823

毕业论文关键词：排序不等式切比雪夫不等式证明应用推广

Proofs,ApplicationsandGeneralizationsofSequencingInequality

AbstractSequencinginequalityisafundamentalinequality,whichisappliedinmanybranchesofmathematics.Inthispaper,wesummarizethemethodsofprovingsequencinginequalityandstudyapplicationsofsequencinginequalityinproofsofseveralequalities.Inaddition,wegivesomegeneralizationsofsequencinginequalityfromdifferentangles.

KeyWords:sequencinginequalityChebyshevinequalityproofapplicationgeneralization

目录

摘要Ⅰ

AbstractⅡ

目录Ⅲ

1引言1

2排序不等式及其证明2

3排序不等式的应用4

4排序不等式的推广7

5结语8

参考文献9

致谢10

1引言

与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系.在关于不等式的研究中众多学者提出了许多著名的不等式，如

切比雪夫不等式若

则（1-2）

又如

Nesbitt不等式若是正实数，则

.（1-3）

与上述不等式存在不可分割的联系且同样具有重要研究价值的还有排序不等式，排序不等式不仅形式美观，而且在不同领域的应用中都具有非常重要的价值.

排序不等式作为一个基本不等式，在现实世界和日常生活中大量存在，它能够有效地运用在日常生活中的许多问题中.例如，随着生活节奏的加快，每天早上排队买饭成为上班族所要面临的一个重要问题，怎样才能帮助他们节省时间以最快的速度买到早饭呢？我们可以从数学的角度出发，利用排序不等式对这个问题进行迅速，简便的解决.

如果有个人去排队买早饭，则按照怎样的次序排队才能使总等待时间最短呢？

设排在第一个位置的人买早饭所需的时间为，排在第二个位置的人所需的时间为，…，排在第个位置的人所需的时间为.则在排队买早饭的总时间中，第一个人等待的时间为，第二个人等待的时间为，……，以此类推，第个人等待的时间为.根据生活中的经验可知，要想使所有人排队买早饭总等待的时间最短，就必须将人按所需时间从少到多的顺序排列，即所需时间较少的排在前面，所需时间较多的排在后面才能更好的节省时间.

若用数学语言来描述，则总等待时间为

，即

.（1-4）假设

，(1-5)

是的任一排列，那么数组和同序的乘积之和最大，逆序的乘积之和最小.也就是说

.(1-6)

当我们把这种结论推广到一般情况，可以得到排序不等式.

2排序不等式及其证明

排序不等式假设

，(2-1)

则存在这样的关系

，(2-2)

其中和是的任意两个全排列.

排序不等式用文字来叙述即为两列数组的逆序之和小于等于其乱序之和小于等于其同序之和.文[1]给出了排序不等式的一种证明.

证一先证

.(2-3)

由加法交换律，有限次交换加数可得

，(2-4)

其中是的一个全排列.如果排列中有逆序，不妨设，把换成，由于，，所以

(2-5)

则

.(2-6)

所以做一次这样的变换，（2-4）式的值不会减小.而排列经过有限次对换可以变成，于是可得到

.

再证

.(2-7)