微分中值定理中的几何和物理意义
摘要微分中值定理有着明显的几何学和运动学意义，它是微分学的基本定理之一，也是我们研究函数的重要工具.经典的数学分析教材上微分中值定理的证明是沿着导数表示切线斜率这一线索展开的，由罗尔定理到拉格朗日中值定理再到柯西中值定理.那么，微分中值定理是否还有其它的几何证明方法呢?本文用切线斜率法和三角形面积法两种方法来构造函数证明微分中值定理.另外，微分学在物理学中也有很多应用，如运动学、电流强度、物质比热等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但都会应用微分中值定理进行计算.研究微分中值定理的物理意义及证明方法既有历史背景，也有现实意义，本文在第四部分中具体探讨了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的物理意义及它们的另一种证明方法.42590
关键词： 微分中值定理 几何意义 物理意义
The Differential Mean Value Theorem’s significance of geometry and kinesiology
Abstract
Differential Mean Value Theorem (DMVT) has obvious significance of geometry and kinesiology. It is one of the fundamental theorem in differential calculus and is also important for us to study functions. To prove the DMVT，we usually use the thread of derivative expressing tangential slope. It is from Rolle Theorem to Lagrange Theorem and Cauchy Theorem. Well then，are there any different geometric proof methods of DMVT. In this paper we use the method of tangential slope and triangular area to create functions to prove the DMVT. Moreover，differential calculus has much application in physics，such as kinesiology, amperage and material specific heat. Although their physical background is different，they will apply DMVT to calculate the results. It has historical background and current value to study the physical meaning of Lagrange Theorem and Cauchy Theorem as well as their different proofs, which are listed in chapter 4.
Key words： differential mean value theorem geometric significance physical significance
目 录
摘要Ⅰ
AbstractⅡ
目录Ⅲ
1 绪论1
1.1研究背景和意义1
1.2本文主要内容1
2 微分中值定理的预备知识3
2.1引言3
2.2导数的概念3
2.3定理及引理5
3 微分中值定理的几何意义及其证明7
3.1引言7
3.2拉格朗日中值定理及其几何意义7
3.3拉格朗日中值定理的两种几何证明方法8
3.4柯西中值定理的几何意义及证明方法10
4 微分中值定理的物理意义及其证明13
4.1引言13
4.2拉格朗日中值定理的物理意义及其证明13
4.3柯西中值定理的物理意义及其证明15
5 总结与展望17
参考文献19
致谢21
1 绪论
1.1 研究背景和意义
在古希腊数学家的几何研究中，人们便可以找寻到微分中值定理的身影.近代以来，微分中值定理的产生和发展是与微积分学的建立紧密联系的.17世纪工业革命进程中，自然科学的各学科都在迅猛发展，其中数学所取得的成就更是举世瞩目的，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹各自独立地创建了微积分，对人类文明影响巨大.其中，牛顿从物理学出发，提出了流数理论，以速度为模型建立了微分学，运动的观点比较显著；而莱布尼兹则是在研究几何问题时，运用分析方法引进微积分概念，得到运算方法的（参见文献[1][3]）.从微积分发展史上可以看出，微积分学是为解决实际中的几何、物理和天文等方面的问题而产生的.导数是微分学的基本概念，它的提出也有着现实背景，其几何意义可视为曲线上某一点的切线斜率，物理意义可视为运动物体某一时刻的瞬时速度.以导数为基础，微分中值定理联系了函数的整体性质与局部性质，使函数值与导数值具有一定的定量关系，从而成为导数概念各种应用的基础，也成为微分学中最重要的基本定理之一.微积分来源于几何和物理两大问题，导数也有着明确的几何和物理意义，而一般的经典教材中，微分中值定理都用几何方法来证明（参见文献[4]）.因此，一个很自然的问题是：是否可以用导数的物理意义来解释并证明微分中值定理呢？这是本文的核心思想.