摘要构造辅助函数是高等数学解题中的一种重要的思想方法，也是证明不等式的一种思路。掌握这种方法可以开阔学生的思路，提高他们的解决问题的能力。在高等数学教学实践中，遇到证明不等式的问题时，很多学生往往心有余悸，不知所措，而通过恰当地构造辅助函数常常是解决问题的关键，构造辅助函数的过程看似无章可循，但经过仔细研究还是能发现一些内在规律的。44234

  Construction of auxiliary function is an important method of thinking in higher mathematics problem solving, but also to prove inequality with a way. Master this method can broaden students ' ideas, improve their problem-solving skills. On higher mathematics teaching practice, when you encounter the problem of inequality, many students are afraid and overwhelmed, and by properly constructing auxiliary function is often key to solving the problem, the process of constructing auxiliary function welter seems to, but after careful research can find some internal rules.

毕业论文关键词：不等式的证明;辅助函数;高等数学

Keyword: proof of inequality; auxiliary function ;advanced mathematics;

  目     录

一、引言 4

二、高等数学中不等式的证明方法 4

1、利用函数单调性证明不等式 4

2、利用微分中值定理证明不等式 5

3、利用函数的最值证明不等式 6

4、利用函数的凹凸性证明不等式 6

5、利用Taylor公式证明不等式 7

6、利用不定积分的一些性质进行不等式的证明 7

7、利用柯西—施瓦茨不等式证明不等式 8

8、利用定积分的一些性质进行不等式的证明 9

一、 引言

不 等 式 是 指 两 个 数 值 或 两 个代 数 式 或 两 个 函 数 大 小 的 比 较 . , 不 等 式 的 证 明 方 法 多 种 多 样 ， 综 合 性 、 技 巧 性 都 很 强 ， 其 中 函 数 思 想 方 法 是 不 等 式 证 明 中 的 重 要 方 法 之 一   。 . 构 造 函 数 的 方 法 较 为 普 遍 ,   需 根 据 不 等 式 两 边 的 特 点 ,   采 用 不 同 的 函 数 , ， 将 不 等 式 问 题 和 函 数 问 题 联 系 起 来 ， 构 造 出 合 适 的 函 数 ， 然 后 利 用 函 数 的 知 识 ， 就 能 巧 妙 地 解 决 问 题 。

证 明 不 等 式 的 程 序 :

1. 做 辅 助 函 数 F( x ) .

2. 求 F ( x )  的 导 数 F ′ ( x  ) , 再 判 别 它 的 符 号. 如 果F′(x ) > 0 则 函 数 单 调 增 加 ,  如果

F′(x ) < 0 则 函 数 单 调 减 少.

3. 求 函 数 在 区 间 端 点 的 函 数 值 或 端 点 的 函 数 极 限 值 .   其 中 至 少 有 一 个 为 0   或 已 知 符 号 为 正 或 负 .

4. 根 据 第2 步 和 第3 步 即 可 得 解.

关 键 在 于 辅 助 函 数 F ( x ) 的 做 法,  怎 么 做 呢?

1. 如 果 为 函 数 不 等 式, 通 过 移 项( 或 先 做 恒 等 变 换 再 移 项) , 使 不 等 式 一 端 为 0, 另一 端 就 为 辅 助 函 数 F ( x ) .

2. 如 果 为 文 字 不 等 式( 如a, b, c) , 则 先 观 察 哪 个 文 字 在 不 等 式 中 出 现 的 次 数 较 多 ,  就 把 它 改 为 x , 再 移 项 使 不 等 式 一 端 为 0, 另 一 端 为 辅 助 函 数 F( x ) .

3. 如 果 为 数 字 不 等 式 ,   观 察 哪 个 数 字 出 现 最 多 就 把 它 改 为 x , 再 移 项 使 不 等 式 一 端 为 0, 另 一 端 即 为 辅 助 函 数 F ( x ) .