3.5注意均值不等式的运用...(11)

4函数最值在实际问题中的应用.(11)

5总结....(16)

1引言

   函数是数学中的一个重要概念，由数学史可知，提出一个新的有意义的重要概念，对数学的发展是作用巨大的。最早提出“函数”这个术语的是德国数学家莱布尼茨，在17世纪末使用了“function”这个词，但是当时的意义跟现在并不一样。18世纪，法国数学家达朗贝尔提出了函数是由变量和常量组成的解析表达式，但是欧拉认为随便画一条曲线就表示 与 的关系，直到19世纪末，出现了康托尔的集合论后，函数的定义才达到完善。康托尔指出：函数是集合间的对应关系。存在 两个非空集合，集合 中的元素经过某种运算法则在集合 中有唯一确定的元素与之对应。

    函数是初中及高中数学教学内容中非常重要的一个部分，在整个中学阶段都与函数有着密切的联系。而函数中非常重要的一环就是求函数的最值问题，在处理过程中，由定义域到值域的转化，方法就是由已知的条件根据数量关系向未知的结果转化，讲一些简单的条件联系起来，来得出一些较为复杂的结论。虽然题目或者题型可能会有些变化，但是处理的过程跟思考的方法都是跟学过的题目差不多的，我们要做到的，就是读懂新的题目，然后开始联想，试着找到类似的已经学过的题目，找出他们的共同点，然后用学过的思路来解题就可以了。

函数最值问题跟实际生活密切相关，在公司生产、科技研究上都离不开求函数最值得问题，是一类特殊的数学问题，在近几年来数学考试或者数学竞赛中都是重点考察的知识点之一。故解决这类问题，要联系各种所学的知识，进行比较，分析相同点与不同点，做到对题型的彻底理解，不至于面对新题型不知所措。

函数最值的定义：一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

最小值：设函数 的定义域为 ，如果存在实数M满足：①对于任意实数 ，都有 ，②存在 。使得 ，那么，我们称实数M 是函数 的最小值。

最大值：设函数 的定义域为 ，如果存在实数M满足：①对于任意实数 ，都有 ，②存在 。使得 ，那么，我们称实数M 是函数 的最大值。

特殊情况：如果函数 在定义域 上单调增加（减少），则在区间 上 的最小值（最大值）为 ，最大值（最小值）为 。

2求函数最值的几种解法探讨

 2.1判别式法

判别式法主要用于二次函数中，或者所求的函数可以通过等价变换转化为二次函数，使得所求的最值变成二次函数中的系数，然后根据二次函数的定义域为 ，得出 的不等式，从而解出函数的最值。用这个方法就是要将所求的量看成已知的量，然后根据已有的定义域再重新来求需要求的量，变化较多，内容也比较拗口，学生们应该深刻去理解其中的意义，才不会混淆。

例1.求函数 的最值

分析：原函数不能通过直接的运算来求出最值，我们不妨引入一个新变量 ，令 ，然后我们可以将等式右边的分母部分乘到左边过去，使得等式两边都是整式，最后进行合并同类项，出现以 作为自变量的二次函数的形式，根据 的取值范围是 ，得出 ，求出 的取值范围，就是所求函数 的范围。

解：设 经过整理得 由 得 

由对于某种特殊函数，我们可以经过适当的转换，使得其值域 变成自变量 的系数，然后利用 来解出 的范围。