矩阵的Doolittle分解及程序设计
关键词：矩阵；线性方程组； 分解；程序设计.
Doolittle Decomposition of Matrix And Program Design
Abstract:In this paper, the Gauss method for solving linear equations set, the solution of linear equations of the problem into two special types of equations of the problem, which, Doolittle decomposition of the matrix, and the proof is given. For a matrix of higher order in the Doolittle decomposition is more trouble, this paper presents a programming matrix Doolittle decomposition. To solve the matrix in order of how high, can be finished by computer.
Key word:Matrix; Linear equation; Doolittle decomposition; Program design.
摘 要 1
引言 2
分解 3
1.1 矩阵的三角分解基本概念与定理 3
1.2 分解定理分解定理 8
矩阵的 分解的具体应用 10
矩阵 分解在线性方程组中的应用 13
矩阵 分解的程序设计 14
4.1方法原理： 14
4.2算法描述 15
4.3测试程序 21
参考文献 24
致谢 25
矩阵的 分解及程序设计引言
分解是矩阵分解的一种形式.理论上成立，但实际运算很复杂.对于阶数较低的分解，运算尚具有可操作性，但对于阶数较高的分解，理论上可以解，但实际操作很复杂，因此要利用一个有效的 分解的程序进行对阶数较高的矩阵的分解.为此, 研究并进行 分解算法及程序设计有着重要的实用意义.
消元法解线性方程组，高斯很早以前就已经解决.可以采用线性方程组的初等变换法进行消元化成阶梯型方程组来求解，也可以对增广矩阵施行矩阵的行初等变换化成阶梯型矩阵来进行计算.文献[8] [10]解决了这种问题.但当方程的个数和未知量的个数较多时此种方法较为复杂，计算的工作量较大；而克莱姆解决了方程的个数和未知量的个数均为 并且系数行列式不等于0时，线性方程组的解的问题，文献[10]给出了解的证明.但利用公式来解线性方程组，需计算 个 阶行列式，工作量也相当大；如果方程的个数和未知量的个数相等，并且系数矩阵是上三角阵或下三角形阵时，利用消元法解就相当简单了；因而当能够将一个方阵分解成上三角阵和下三角阵乘积时，求一个含有 个未知量 个方程的解的问题就化成求解系数阵为上三角阵和下三角阵的两种方程组的解的问题；因而方阵的 分解显得很必要；文献[9] [11]给出了 的分解定义.
而对一个方阵进行 的分解也是相当麻烦的，为借助现代化的工具计算矩阵的 的分解，我设计了 分解的程序，并一组线性方程组进行数据的测试得出运行结果，又列举出可逆矩阵和满秩矩阵 分解的程序代码.
1. 分解
1.1矩阵的三角分解基本概念与定理
定义1.1.1 设 ,如果存在下三角矩阵 和上三角矩阵 , 使得 , 则称 可作三角分解或 分解.
定义 1.1.2设 为正定矩阵, 为行列式不为零的任意对角矩阵,则 , 为一个单位上三角矩阵, 且有 成立：
1) 如果 是单位下三角矩阵, 是对角矩阵, 是单位上三角矩阵, 则称分解 为 分解;
2) 如果 是下三角矩阵, 而 是单位上三角矩阵, 则称三角分解 为克劳特 分解;