一阶非线性偏微分方程Burgers方程的熵解问题研究
1 摘要 2
2 Burgers 方程的背景知识 4
2.1 Burgers 方程的背景知识 . 4
2.2 非 (拟) 线性守恒律方程 . 5
2.2.1 基本概念与定义 5
2.2.2 守恒律方程的特征线方法及局部经典解 . 8
2.3 间断解 . 12
2.3.1 解的定义 . 12
2.3.2 Rankine-Hugoniot 条件 . 13
2.3.3 熵条件、激波和熵解 . 13
2.4 黎曼问题 . 16
2.4.1 Burgers 方程的黎曼问题 . 17
3 应用实例：从行人过马路遇到红灯说开去 21
4 致谢 24
5 参考文献 251 摘要
Abstract
This paper mainly studies the nonlinear partial differential equations
of first order entropy solutions for Burgers equation problem. We first
introduce some basic knowledge of Nonlinear Conservation Laws. Next,
how to apply characteristics analysis method for the initial value problems
of Buergers equations is described, and therefore, the two forms of blow
up results of Bergurs equations are deduced with given a smooth solution
of the existence of local conditions. Finally, we will use several realistic
examples to illustrate the importance of Burgers equation in real life.
Keywords: nonlinear partial differential equations, Buergers equa-
tions,initial value problems, entropy solutions.摘要
本文主要研究一阶非线性偏微分方程 Burgers 方程的熵解问题. 我们首
先引入了一些非线性守恒律方程（方程组）的基础知识. 其次介绍了如何
应用特征线分析法求解 Buergers 方程的初值问题，并在此基础上推导出了
Bergurs 方程的两种爆破形式，给出了光滑解局部存在性的熵解条件. 并且
通过几个具体的例子来求解 Bergers 方程的 Riemann 问题. 最后通过实际
生活中的实际例子来进一步说明 Burgers 方程的重要性。7130
关键词 非线性偏微分方程、Burgers 方程、熵解问题
2 Burgers 方程的背景知识
2.1 Burgers 方程的背景知识
非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，人们对非线性偏微分方程的
研究主要有以下几个方面：研究偏微分方程解的存在唯一性（和多解性）及稳
定性；偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解（包括周期解和概周期解）
的存在性及渐近性；平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解
的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题；非线性方程的数值解。这其中，寻求
非线性偏微分方程的解一直以来都是现代数学工作者研究的重要的课题。
Burgers方程是一个基本的非线性偏微分方程，它最初来自流体力学。众所周
知，Navier-Strokes 方程是基本的流体力学方程组，在求解 Navier-Strokes 方程
时，很多人利用抛物化将其近似，即采用抛物化的 Navier-Strokes 方程。在流体
力学理论中，Prandtl 建立的边界层方程是最简单的抛物化粘性流动方程。为了
分析抛物化的 Navier-Strokes 方程的性质，1948 年, 欧美学者 Johannes Burgers
引入如下非线性方程作为其模型方程
ut + uux = uxx (2.1)
其中 u = u(t; x) 表示关于时间和位移的速度函数， 0 是粘性系数。上