有人很早以前就采用数学的方法研究了关于生物种群生存竞争的问题。意大利生物学家棣安考纳在20世纪20年代研究相互制约的各种鱼类种群变化的时候，发现了在第一次世界大战期间，意大利的沿海所捕获的鱼类中，如鲨鱼、鳐鱼等以鱼类为食物的食肉鱼类（这里简称为大鱼）占鱼类总捕获量的百分比急剧地增加。当时他认为会导致这样的结果是由于在战争期间捕获量大大降低的原因。因为捕鱼活动的减少，大鱼会得到更多的食物，从而使他们迅速地繁殖起来。然而从另一方面来说，由于捕获量的减少，也会使得被捕食的鱼类（这里简称为小鱼）的总数有所增加。然而事实是由于捕获量的减少，对大鱼来说更有利。这是什么原因呢？虽然棣安考纳从生物学上进行了周密的考虑，但是也没有得到完美的答案。后来，这个问题被意大利著名学家伏尔特拉所研究，他建立了一个捕食者与被捕食者这两个种群相互作用的数学模型，棣安考纳之前所提出的问题就是利用这个数学模型得到的解释。

棣安考纳讨论这个问题是从讨论海中大鱼鱼群和小鱼鱼群周期性地出现开始的。假设捕食者是大鱼，被捕食者是小鱼，大鱼是靠吃小鱼而生存的。所以这就很容易看出：在海中，如果大鱼鱼群多了，那么大鱼就会吃掉大量的小鱼，从而导致小鱼鱼群的减少。随着小鱼鱼群的减少，那么大鱼鱼群就会没有充足的食物来源，从而导致发育造成影响甚至饿死，所以导致小鱼又繁殖起来。伏尔特拉利用微分方程把这样一个周期变化的现象的分析由定性提高到定量的水平。美国的Alfred Lokta在1925年于他的书中针对捕食-被捕食系统也提出了同样的问题。Lokta和Volterra被视为生物数学理论黄金时代的领路人，与孟德尔的遗传学规则不同，这种生态法则更定性化的研究自然，比起对系统数量上的预计，他们更倾向于研究系统的整体性质，所以由此得到的Lokta- Volterra模型更具策略性。

1.2 国内外发展形势

1.3 本文概述

本文是关于生物数学领域的一些内容，重点研究的是食饵-捕食模型。首先了解到了这个模型存在的背景和意义，假设捕食者是大鱼，被捕食者是小鱼，大鱼是靠吃小鱼而生存的。所以这就不难看出：在海中，如果大鱼鱼群多了，那么大鱼就会吃掉大量的小鱼，从而导致小鱼鱼群的减少。随着小鱼鱼群的减少，大鱼鱼群就会没有充足的食物来源，从而导致发育造成影响甚至饿死，所以导致小鱼又繁殖起来。伏尔特拉利用微分方程把这样一个周期变化的现象的分析由定性提高到定量的水平。1925年，美国的Alfred Lokta在他的书中针对捕食-被捕食系统也提出了同样的问题。Lokta和伏尔特拉被视为生物数学理论黄金时代的领路人，这种生态法则不同于孟德尔的遗传学规则，而是更定性化的研究自然，他们更倾向于研究系统的整体性质，而不是对系统数量上的预计，所以由此得到的Lokta- Volterra模型更具策略性。生物数学产生和发展的历史可以追溯到16世纪，美国生态学家Lokta在1925年研究化学反应时提出了一个微分方程，而意大利数学家Volterra在1926年研究鱼类捕食关系时提出了与其数学形式完全一致的微分方程模型，统称为Lokta- Volterra系统。

我的课题主要研究的是食饵-捕食模型及其应用，根据非线性食饵-捕食模型的不完全营养转换，其中加入人类捕猎对于生态系统的影响，研究此模型的平衡点，并讨论平衡点的稳定性。第一部分：通过参考文献以及Lokta-Volterra模型确定列出本文的食饵-捕食模型，写出每个变量的定义，也就是把人类的捕猎影响列入模型中。第二部分：试计算出模型的平衡点，并通过特征值方法检验正平衡点的存在性和唯一性。第三部分:讨论正平衡点的稳定性，通过一系列的定理推论验证正平衡点的稳定性，同时使用了特征值方法，把平衡点的稳定性分为局部渐近稳定与全局稳定两方面。第四部分：通过真实数据来模拟，使用MATLAB软件编程画图，我们能更清楚的看到平衡点的稳定性，从而有利证明前面的理论知识。