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抽屉原理及其应用+文献综述(2)
①如果3个以上包括3个数在同一个抽屉中,则取其中的任意两个数,他们的差为(3a+m)-(3b+m)=3*(a-b)(a〉b,m=0,1,2),可知这种情况必能被3整除。
②如果有2个整数在同一个抽屉中,则有抽屉原理可知,余下的两个抽屉里有一个数或者有一个抽屉是空的。从在同一个抽屉中取出的两个数的差为(3a+m)-(3b+m)=3*(a-b)(a〉b,m=0,1,2),可知在同一抽屉里取出的数的差能被3整除。
故命题得证。
2.2高等代数中的应用
例2.从n阶群P中任取n个元素 ,证明存在a,b(1≤a≤b≤n)使 (单位元)
证明:∣p∣=n,用所取元素的积及e作序列:
e, , ,, , (1)
那么它的n+1项都是p的元素,根据抽屉原理,序列(1)中必有两项相等。如果
此时,a=1.b=j,符合要求;否则有
(b>j≥1)于是有 =
取a=j+1,有1≤a≤b≤n,使 得证
2.3几何中的应用
例3.在边长为1的正方形内任取5点,试证其中至少有两点,其距离小于 。
证:分别连接对边的中点,这样正方形被均匀的分成四个域,在正方形内任取5点,根据鸽巢原理,至少有两点在同一个域中,而一个域内两点的最远距离小于 ,
所以至少存在两点其距离小于 。
例4. 在边长为1的等边三角形内任取5点,试证至少有两点距离小于 。
证:将边长为1的等边三角行分成4等份。 则至少有两个点在同一个小三角行中,每个小三角形的边长为 ,所以至少存在两个点见的距 离小于 。
2.4三角不等式中的应用
例5.证明如果A,B,C是△ABC的三个内角;那么 。
证:由抽屉原理可知:在△ABC中,一定有2个角同时不小于或同时不大于 ,不妨设为A,B,则有
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