摘要三项式定理是在二项式定理的基础上发展而来的，具有一系列与二项式定理类似的性质，在概率统计、高等数学的学习中具有广泛的应用。

本文在原有研究成果的基础上,讨论了一个具有参数的三项展开式,得出了该三项展开式的一些性质和结论,并用这些性质证明了几个新的组合恒等式。最后，在本文列举了这类三项展开式在求系数、做母函数、以及求证三项展开式不等关系等方面的应用。52398

Abstract Trinomial theorem is developed from Binomial theorem, possessing a series of nature as similar as Binomial theorem. Also, it has an extensive application in probability and statistics and the higher mathematics.

Based on the current achievements in research, we explore one kind of trinomial expansion containing a parameter, getting a series of the nature and conclusions. And we use some properties about trinomial coefficients to prove some new combinatorial identities. About the trinomial applications, this paper enumerates the trinomial coefficient, generating function, and three expansion unequal relationship. 

毕业论文关键词：二项式定理；三项式定理；三项式系数；组合恒等式

Keyword: binomial theorem; trinomial theorem; trinomial coefficients; combinatorial identity

目   录

摘   要 i

1  引  言 1

2  性质及其证明 2

3  三项式定理的几点应用 6

4  几个新的组合恒等式 8

1  引  言

二项式定理是初等数学中的一个重要的定理，其一般的表示形式是：

 其中通项为 ，二项式系数为 ，若令 ，则 

二项式定理的另一个表示形式是:

关于二项式定理和与其相关的二项式系数，目前的研究已经发现了许多有价值的的性质和结论，可见文献[2-9]。在现有研究的基础上，文献[1]构造了如下展开式： 

                      (1)

文献[1]中对式（1）进行了多方面的探究，得到了关于其系数的一系列的性质和结论。在已有研究成果的基础上，我们引入了参数 ，将三项展开式向一般化进行了推广,推广后的展开式如下：

相比于展开式（1），展开式（2）更具有一般性，我们着重研究了展开式（2）是否具有与展开式（1）相同或者相类似的性质。

定义1：我们将 的展开式称为含参数的一元三项 次展开式，简称为参数三项展开式。并把 称为参数三项式系数。

2  性质及其证明

引理1 三项式 的展开式中 的系数是 

含参三项展开式与二项展开式在系数方面存在着密切的联系：

性质1 一元三项式 的展开式中 的系数 满足

其中我们规定：当 时 。

证明 分别将 代入引理1中的 ，得

当 时， 满足 的组合有 种，如下表所示：

所以 ，为了避免出现  的情形，我们规定当 时 。

当 时， 满足 的组合有 种，如下表所示：

 所以 ，同样地，我们规定当 时 。

综上得证 满足（3）。证明 由（2）式有         （4）

又因为    （5）源'自-优尔;文,论`文'网]www.youerw.com

所以，我们规定：当 或 时 。比较得：

注2：当  时，性质2即为文献[2]的性质2。

定义2根据性质2，可将此类三项展开式的系数排列如下：