摘要：微分中值定理是微分学的理论基础，为研究函数的整体性态提供了有利的分析工具.本文介绍了常用的微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理，论述微分中值定理在证明方程根的存在性、研究函数的性态、证明等式与不等式、求极限、求近似值、判断级数的敛散性及函数的一致连续性问题等7个方面的应用，从而加深对微分中值定理的理解.53687

毕业论文关键词: 罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，应用

Abstract:Mean Value Theorem is the theoretical basic of differential calculus,which works as a powerful analytical tool for studying the integrity of functional operation.This paper introduces Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem, discuss application of differential central value theorem such as proving existence of roots of equation, study properties of function, proving equality and non-equality, seeking extreme value and approximate value and so on. This deepens one’s comprehension for differential central value theorem.

Keywords: Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem, application

目   录

1引言 4

2微分中值定理的基本内容及其几何意义 4

3微分中值定理之间的关系 5

3.1微分中值定理在结构上的相关关系 5

3.2微分中值定理证明的统一 5

4微分中值定理的应用5

4.1罗尔中值定理在解题中的应用6

4.1.1证明中值点的存在性6

4.1.2讨论方程的实根7

4.2拉格朗日中值定理在解题中的应用8

4.2.1讨论函数的单调性8

4.2.2证明函数恒为常数9

4.2.3证明不等式 10

4.2.4求极限10

4.2.5求近似值11

4.2.6判断级数的敛散性11

4.2.7关于函数的一致连续性问题12

4.3柯西中值定理在解题中的应用12

4.3.1证明等式12

4.3.2证明不等式13

4.3.3证明函数的有界性14

结论 16

参考文献 17

致谢18

1  引言

    微分学是数学分析中的重要主成部分,而微分中值定理则是微分学的核心.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理统称为微分中值定理 .它们是微分学中最基本而又最重要的定理,其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.微分中值定理主要是应用导数的局部性研究函数在区间上的性质,在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.运用它们可以通过函数的导数研究函数的一些问题,如中值点的存在性 、研究函数的性态 、证明等式与不等式 、求极限 、求近似值 、判断级数的敛散性及函数的一致连续性问题 等.下面将针对微分中值定理中重要的这三大定理分别进行举例分析,来讨论微分中值定理在以上各方面的具体应用.

2  微分中值定理的基本内容及其几何意义

微分中值定理是反映了导数值和函数值之间联系的三个重要定理,它们分别是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

定理1 （罗尔（Rolle）中值定理） 若函数 满足如下条件:

（1） 在闭区间 上连续;

（2） 在开区间 内可导;

（3） ;

则在 内至少存在一点 ,使得                              .

    罗尔定理的几何意义:满足定理条件的函数 在开区间 内的曲线上至少存在一条水平切线.

定理2 （拉格朗日（Language）中值定理） 若函数 满足如下条件:

    （1） 在闭区间 上连续;