摘　要：本文我们先给了凸函数的定义.然后简单介绍了凸函数的判定定理和应用广泛的詹森不等式,给出了凸函数的性质.最后利用例题展示了凸函数在证明不等式中的作用，分析了解决问题的思路和依据.又对几个我们常见的不等式进行了证明，并了解了一些常用凸函数的具体形式.56243

毕业论文关键词：凸函数，性质，詹森不等式

Abstract: Firstly, we illustrate the definition of convex function. And then introduces the judgement theorem of convex function and wide application of Jensen's inequality, and the properties of convex function are given. Finally, the role of convex function in proving inequalities is shown by some examples , through examples can help us analyze the basis to solve the problem. we show the proof of some common inequality, and learn the concrete form of some commonly used convex function. 

Key words : convex function, property, Jensen's inequality

目录

1  引言…4

2  凸函数的等价定义  4

3  凸函数的判定定理…5

4  凸函数性质  …7

5  凸函数在证明不等式中的应用7

结论16

参考文献17

致谢18

1  引言

凸函数是一类常见的重要函数，它的概念、性质等被广泛应用到了很多数学研究．比如在数学分析、泛函分析、最优化理论以及数学经济学等学科领域当中的运用．其中经常使用的两种凸函数是上凸函数和下凸函数，上凸函数（也称为凹函数），由图象能够知道此类曲线上任意两点间弧线段始终在这两点直线段的上面，也就是曲线总处于每一点切线下面；另一种叫下凸函数，也就是曲线上任意两点间的直线段总在这两点弧段的上面的函数，也可以说该曲线总处于每一点切线的上面．根据凸性可以推理出凹形，在解决实际问题时，就可以运用此转化思想．本文简要论述了下凸函数（简称凸函数）的概念、性质及其等价关系、判定定理等，及其在证明不等式中的应用.

2  凸函数的等价定义

定义1  若函数 对于区间 内的任意 以及 ，恒有

 ，

则称 为区间 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间的直线段总是在此两点曲线的上面．

定义2　若函数 在区间 内连续，对于区间 内的任意 ，恒有

 ，

则称 为区间 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间直线段的中点总在曲线上相应点( )之上．

定义3　若函数 在区间 内可微，且对于区间 内的任意 及 ，恒有

 ，则称 为区间 上的凸函数．源'自:优尔-'论/文'网"www.youerw.com

其几何意义为：凸函数曲线 上任一点处的切线，总在曲线之下．

以上三种定义中，定义3要求 在 内是可导的，定义2要求 在 上是连续的．而定义1对函数 则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数 在 上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数 是可导的，就没有提出．若是再加之此函数可导的，它就可以证明这三个定义之间是能互相推出的，也就是它们之间是相互等价的.

　  定义4  设函数 在区间 上有定义, ,且 , ,                                       

成立，称 是区间上 的凸函数.

定义5  设函数 在区间 上有定义, ,且 , ，                               

成立，称 是区间上 的凸函数.