摘 要：矩阵的秩在矩阵中具有重要的作用，贯穿着整个矩阵的学习。本文主要探讨了矩阵的秩的结论和主要性质，从而探究矩阵秩的相关应用。

毕业论文关键词：矩阵的秩，向量，线性方程组，二次型56247

Abstract：The rank of matrix plays an important role in the matrix, throughout the matrix.In this paper,we mainly discuss the main properties and conclusions, so as to explore the application of the rank of matrix.

Keywords：the rank of matrix,vector,linear equation,quadratic form

目     录

1 前言 5

2 矩阵的秩与向量间的线性相关 5

2.1向量组的秩的定义 5

2.2矩阵的秩的定义 5

2.3矩阵的秩的基本性质 6

3 矩阵的秩与向量间的线性关系 6

3.1线性相关及其判断 6

3.2极大无关组 7

4 矩阵的秩与线性方程组的解 8

4.1非齐次线性方程组的解 8

4.2齐次线性方程组解 9

5 矩阵的秩与二次型 10

5.1二次型及其标准型 10

5.2矩阵的秩与二次型的正定 10

6 矩阵的秩与线性变换 12

7矩阵的秩与解析几何的关系 13

7.1矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系的应用 13

7.2矩阵的秩在判断直线与直线位置关系的应用. 14

7.3矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用. 14

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 前言

    在高等代数中,矩阵的秩有着非常广泛的应用,是高等代数中的重要角色之一.矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性贯穿矩阵整个学习过程.所以对于矩阵秩的讨论可以让我们更好的学习矩阵,矩阵的秩为我们学习高等代数各个章节提供了有力的学习保障.在矩阵中,矩阵 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵 的矩阵的秩,记为 或矩阵的秩 .从定义上看,一个矩阵的秩,就是一个数.其实,如果将矩阵 的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等于矩阵的秩.若 ,则称 为行满秩的矩阵;若 ,则称 为列满秩矩阵. 阶方阵等于 时称 为满秩矩阵或可逆矩阵.

2 矩阵的秩与向量间的线性相关

    向量组的秩决定了矩阵秩的定义,从向量组的秩去理解矩阵的秩是非常容易理解的,为此我们先引入向量组的秩的定义.

2.1向量组的秩的定义

定义1向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

例如，向量组  =（2，-1，3，1），  =（4，-2，5，4），  =（2，-1，4，-1）的秩就是2.

因为线性无关的向量组就是它自身的极大无关组,所以一组向量组线性无关的充分必要的条件为它的秩与它所含向量的个数相同.

2.2矩阵的秩的定义

由2.1我们定义了向量组的秩,如果我们把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的.同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.