目次

引言...1

1基础知识....2

1.1微分动力系统的基本理论和概念2

1.2线性系统4

2平面线性系统.5

2.1二阶微分方程..6

2.2平面系统...7

2.3代数预备知识9

2.4平面线性系统...12

2.5平衡点的分类...18

2.6平衡点的拓扑分类33

3非线性系统的平衡点，平衡点的稳定性35

致谢.47

参考文献...48
引言动力系统是数学上的一个概念。动力系统中存在着固定规则，它描述了几何空间中的一个点随时间变化的情况。例如描述钟摆摆动、下水道中水的流动， 或者池塘中每年鱼的数量，像这类的数学模型都是动力系统。在动力系统中存在状态的概念，状态是可以被确定下来的数。状态的微小变动会对应的实数也会有微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则其实是一组函数演化的固定规则，它描述的是未来状态是怎么依赖于当前状态的。这种规则是可以确定的，在给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。自然界中也会经常出现一些随时间而变化的系统，如星系、物体运动、物种进化等，这些体系的一个共同的基本的数学模型是：源]自{优尔·~论\文}网·www.youerw.com/ 有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合 X 并有与时间 t 有关的动态规律 0 : X X t  这样,一个状态x X  随时间t 变动而成为状态 ) (x t 。 如果X 是欧式空间或一个拓扑空间,时间t占满区域 ) , (   ，动态规律 t 还满足其他简单并且自然的条件（详见拓扑动力系统） ，则得到一动力系统。这时，过每一点 X x 有一条轨线，即集合{ ) (x t | ) , (    t }。如果 X 是一欧氏空间，且动力系统 0 : X X t  在每一X x 处对 t 可微:则称这系统为常微分方程组。其逆，若 X 是紧致光滑流形,其上先给有一 1C 常微系统S 那么据基本的常微分理论，S 恒产生一动力系统。这里,S 是 1C 的，即对S 对x 连续地可微。动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容看似没有多大的区分，但是它们有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统非具体方程的定性研究， 其研究办法着眼于轨线间的相互关系， 换句话说，是整体性的。其中有些是拓扑式的,也有些是统计式的;后者主要是遍历性。动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发展。