摘 要:在复变函数理论中,完全类似的微分学中值定理是不成立的.本文收集整理了复变函数理论中类似于微分学中值定理的较弱的结果.其中包括拉格朗日微分中值定理在解析区域 内整体性推广,向实部和虚部的推广.叙述了它们的证明,并找到它们在复变函数研究中的一些应用.59822

毕业论文关键词:中值定理，偏导数，解析函数

Abstract: In complex function theory, completely similar differential mean value theorem does not hold. In this paper we collect some weaker results which similar to the differential mean value theorem in complex function theory. These weaker results include the extension of Lagrange Differential Mean Value Theorem in the analytic domain , in terms of entirety, locality and real & imaginary component. These theorems are proved and their applications in the study of complex function theory are given.

Keywords: mean value theorem, partial derivative, analytic function

目   录

1 引言  4

2 实数域中的微分学中值定理   6

3 复函数微分学中值定理    8

参考文献      14

1 引言

微分中值定理是微分学的核心定理之一,是一个研究函数的重要工具,历来受到人们的重视.

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论:“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

　　意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.

1637,著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.

1691年,在费马定理的基础上,法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出罗尔定理.

1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理, 并给出最初的证明,作为罗尔定理的推广.

对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》,《无穷小计算教程概论》 (1823年),《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.

自二十世纪九十年代起人们在实数域上对微分学中值定理进行了很多研究,不仅给出微分中值定理新的证明,还研究了其“中值点” 的渐进性分析性质,多个函数的中值定理,高阶导数的中值定理等.但在复变函数理论中,完全类似的微分学中值定理是不成立的,问题出在哪？如果微分学中值定理在复函数中成立,就可以利用微分学中值定理来研究复函数,这样的工作有着十分重要的意义.

因此,在复变函数理论中,有许多人用新的方法证明了一些类似于实数域的相关定理,并得到不少重要的结论.

1995年,任立顺,安玉坤在《关于中值定理“中值点”渐进性的一般的结果》一文中分析了关于中值定理“中值点”渐进性的一般的结果.

　　2008年,刘华在《中值定理在复变函数中的推广和应用》一文中将实分析的中值定理在复分析中加以推广,并进一步讨论了复分析中的中值点的渐进性和分析性质.