2.1.2 函数的三要素

函数的三要素包括定义域、对应法则和值域。函数的三要素决定了函数的异同，当三要素之中已知两个条件时，我们可以求出第三个。

A. 函数定义域的求法

（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 

例1（13 银川质检） 求函数 的定义域

解析：要使函数有意义，则 ，即 ，解之得 

评注：结合实际条件，我们可以知道函数有意义的条件在于分子有意义且分母不为0，因此这里只要满足这两个条件，则函数的定义域由此可得。

（2）当函数为复合函数时，其定义域要同时满足全部条件文献综述

   a. 若已知函数 的定义域为 ，则复合函数 的定义域由 求出。

   b. 若已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 时的值域。

例2（12 银川质检） 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为_______

解析：函数 的定义域为 ，因此自变量 的取值范围是 。令 ，则 的取值范围是 ，从而 的定义域为 ，故 的定义域为 

评注：这是一个简单的复合函数，搞清楚自变量后就可以通过整体代入的思想解决函数 定义域的问题。

B. 函数值域的求法

（1）观察法

例3[5] 求函数 的值域

解析：求函数 的值域时，由 及 ，知 ，故所求的值域为 。

评注：结合解析式成立的条件，首先我们可以根据解析式求出函数的定义域。在此基础上，利用定义域很快地就可以得到值域，从而得出函数的值域。

（2）中间变量法

例4[5] 求函数 的值域

解析：求函数 的值域时，由 得 ，而 ，所以 ，所以 ，故所求的值域为 。

评注：在这里求值域时，可将 作为中间变量，由于 的取值范围是已知的，所以将其用 表示出来后的新的形式的范围也是已知的。根据此不等式可迅速求出 的取值范围，也就是原函数的值域。

（3）配方法

例5[5] 求函数 的值域

解析：求函数 的值域时，因 ，故所求的值域为 。

评注：此题中将二次函数的一般形式通过拆分后配凑出二次函数的顶点式，故而可以直接从顶点式中看出原函数的值域。

（4）图像法源:自~优尔·论`文'网·www.youerw.com/

先作出函数的图像，再由直观的图像得到其值域。

（5）换元法

用换元法求函数值域时，要注意的是换元后辅助元的取值范围，利用它和相关知识便可求其值域。

（6）判别式法

将函数的解析式转化为关于 （或某个代数式）的一元二次方程，利用一元二次方程有实根的充要条件，即判别式 ，得到关于 的不等式，解之便能求出其值域。

（7）不等式法

例6[5] 求函数 的值域

解析：求函数 的值域时，因为 ，所以 ， ，又因为 ，所以 ，故所求的值域为 。