摘　要：不动点是高等数学里常用而重要的内容之一，在数学与实际问题中也有着广泛的运用，所以理解并掌握不动点原理就显得非常重要．本文通过论述不动点的相关定义及定理，来说明不动点在各类题型中的应用，以及运用不动点原理处理一些传统方法比较难解决的问题．66017

毕业论文关键词：不动点，不动点原理，应用

Abstract: The fixed point theory is common and important content of higher mathematics, it is widely used in mathematics and practical problems. It is high important to understand and grasp the principle of fixed point theory. In this paper the definition and principle of fixed point are discussed, to illustrate the fixed point in connection with through in all kinds of question, by using the fixed point theorem to solve problems that some traditional methods difficult to solve.

Keywords: fixed point, fixed point theory, apply

目　　录

1　引言4

2　不动点原理4

2.1不动点的定义4

2.2不动点的性质4

3　不动点原理的应用5

3.1在求方程解中的应用5

3.2在数列通项中的应用5

3.3在数列极限中的应用8

3.4在代数与几何中的应用10

结论12

参考文献13

致谢14

1　引言

20世纪初，不动点理论的研究开始兴起，1909年荷兰数学家布劳威尔创立了不动点理论．在这个基础上，很多数学家对不动点有了进一步的研究，继而运用不动点解决了不同类型的问题．

在高等数学中很多内容都涉及了不动点原理，不动点原理在微分方程、函数方程、动力系统中有着广泛的应用．虽然不动点不是教材中的必修内容，但不动点的存在确实能够解决一些数学中难以解决的问题，特别是在求解数列通项和函数表达式等方面．论文网

在已知递推关系却又难以求出通项的数列综合问题中，合理充分的运用到函数中的不动点相关性质是解决这类问题的关键点．利用“不动点”的思想巧解数列问题，不仅能有效简明的解决问题，还能以“不动点”为载体将函数、数列、方程以及解几等知识有机结合在一起，从而体现了运用不动点的相关定义及性质简单而巧妙的思维逻辑[1-3]．

本文将对不动点进行拓展研究，并给出解决不同类型题目的方法．介绍不动点的相关定义及其在数学解题中的思想．运用不动点理论解决数列和函数方面的问题．最后，经过理解和掌握不动点思想和方法，我们可以运用不动点原理将复杂的数学问题简单化．

2  不动点原理

2.1  不动点的定义

定义1　设 为非空集合， 是一个映射，如果 使得 成立，则称 为映射 的一个不动点．

定义2　函数 是定义在 上的函数，如果 使得 成立，则称 为函数 的一个不动点．

对于函数 的不动点，有以下两种理解：

    1）代数意义　若方程 有实数根 ，则函数 有不动点 ．反过来亦成立．

2）几何意义　若函数 与 有交点 ，则 为 的不动点．

2.2　不动点的性质

   不动点在函数中有如下几种结论[4]：

    1)  为函数 的不动点且函数 有反函数 ，则 也是函数 的不动点． 

    2) 定义在实数集 上的奇函数 存在（有限） 个不动点，则 必为奇数．

    证明　因为函数 的定义域为 且 是奇函数，则0为 的一个不动点；又因为奇函数中的不动点必然成对出现，所以命题成立．