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2.2 韦达定理的简单应用

韦达定理内容虽然简单，但在中学数学中应用广泛，蕴含丰富的数学思想，它与代数、函数、几何等能够有机结合，产生许多丰富的数学问题，下面简单介绍几个例子.

2.2.1韦达定理在解决代数求值问题中的应用

例1  （2000年第15届江苏省初中数学竞赛，第10题）已知

 ，求 的值.

分析  求代数式的值的一般方法是先求值再带入，本题可以先根据所给方程解出  ，然后代入代数式求值，但由于 各有两解，所以代入求值时需要分类讨论；为了避免分类讨论，仔细观察题设中的两个方程，可对第二个方程进行适当变形，使其形式与第一个方程相似，再应用韦达定理，求代数式的值.下面给出第二种解法的解答过程.

解  由题设条件知， ,于是 可变形为 ，文献综述

即 ，

又因为 ，所以，当  ，即 时， ；当 时， 为方程 的两个实根，由韦达定理得，

综上所述

小结  利用韦达定理求代数式的值的优点之一在于，可将两根之和与两根之积分别看成两个整体，而不需要具体求出两根（尤其是当解方程比较复杂或求不出具体数值时）,直接利用韦达定理整体带入，可以省去求值的环节，使得计算简便.具体步骤为，首先，利用韦达定理求出题中所给方程的两根之和与两根之积，然后将题中要求的代数式用两根之和与两根之积的形式表示出来，最后带入求值. 

2.2.2 韦达定理在解决函数最值问题中的应用

例2  （2013江苏淮安二模，第13题） 设函数

 的最大值和最小值分别为 和 ，且 ，则 .

分析  本题是数列、函数与韦达定理的综合题，本题综合性比较强. 而解答  本题的关键在于求出最大值与最小值. 本题可采用反函数法求最值，在求值过程中，结合图像，将函数零点与方程根的关系以及题中 ，联想到韦达定理内容.

解  由题设中 ，得到关于 的方程

 .

其判别式因为上述关于 的二次函数图像开口向下，所以 的最大值和最小值是函数的两个零点，

小结  函数与方程的思想是中学数学学习中重要的思想之一，将函数的零点与方程的根联系起来是其最基本的思想. 韦达定理描述的是方程的根与系数的关系，而方程与函数又有着一定的联系，所以方程最值相关的一些问题有时也可以转化为方程的根的问题，利用韦达定理来解决.来,自|优;尔`论^文/网www.youerw.com

2.2.3 韦达定理在解析几何中的应用

例3  顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线 ，被直线 截得的弦长为 ，求此抛物线 的方程.

分析  本题是一道简单的直线与圆锥曲线的综合性问题，处理直线与圆锥曲线相交问题时，一般技巧是设出交点坐标，但不求出，利用韦达定理和相关条件转化问题，进行求解，这就是“设而不求法”.本题可直接利用韦达定理和弦长公式进行解答.