摘　要：三角有理式不定积分在一元函数积分中有着很重要的地位，其求解无固定方法，需因题而异，灵活性非常大，是不定积分中难以掌握的类型．本文分析三角有理式不定积分求解的基本思想，归纳总结解题的多种方法．74374

毕业论文关键词：三角有理式，积分，解法，变形，代换

Abstract: Rational trigonometric indefinite integral plays a very important role in the unitary function integral。 Its solution method is not fixed, depending on the specific problem。 It has a great flexibility and it is hard to grasp such a type in the indefinite integral。 The basic idea of solving the indefinite integral of triangle is analyzed in this paper and the various corresponding solutions are also summarized。

Keywords: trigonometric rational function, integral, solution, deformation, substitution 

目　　录

1　引言4

2　三角有理式不定积分的求解方法4

2。1　直接积分法4

2。2　第一换元积分法4

2。3　有理替换法5

2。4　分部积分法7

2。5　递推求积法8

2。6　辅助求积法9

2。7　待定系数法10

3　积分方法的多样性与积分结果的差异性10

4　几类三角有理式积分的计算方法13

结论15

参考文献16

致谢17

１　引言 

三角有理式不定积分的求解问题方法较多，题目多变，对学习与解题造成了很大的困扰．在解题时，往往需要选择恰当的方法，否则计算量很大．因此有必要对这方面进行归纳和总结，以此来提高解题速度．本文对三角有理式不定积分的概念、结论、方法进行归纳和总结．

三角函数有理式是由三角函数及常数经过有限次四则运算所得到的式子，如 

 ， ， ， 等都是三角有理式[1]．

　　因为 可以用 表示，所以三角函数有理式用 来表示．三角有理式不定积分一般记为： [1]．

2　三角有理式不定积分的求解

2。1　直接积分法

由已知函数求出全部原函数的方法称为积分法．把被积函数经过恒等变形后直接运用不定积分的性质和基本积分公式求出不定积分的方法称为直接积分法．常用的恒等变形的公式有：

 ， ， ， ， 等．

例1　计算 ．

分析　被积函数中的 可以经过恒等变形后化为 ，化为分项积分然

后求积．

解　    ．

2。2　第一换元积分法

第一换元积分法[2]，又称凑微分法，是使用比较常见的一种积分方法．

若 ， 连续可导，则 ．

凑微分法的关键在于凑微分，常见的三角函数凑微分的公式如下：

 ， ，

 ， ，

更一般地，

 ，

 ．

例2　计算 。

分析　当被积函数为 时，且 中至少有一个为奇数时，利用

 和 拆开奇次项去凑微分[3]．论文网

解　   

  ．

2。3　有理替换法

利用换元将原积分的被积函数化成有理函数，进而转化成有理函数式的不定积分的求解问题．

（1）半角替换[4]

半角替换又称万能替换，即令 ， ， ，该替换能够将 ， 实现有理化．

 ，

同理可得　             　　　　　  ．

这样就可以将有理三角函数的积分归结为有理函数的不定积分

           ．