本文将对不动点理论进行研究讨论,给出应用不动点理论简便解题的结论．本文先是介绍了不动点的定义以及对于不动点理论的理解和证明。 然后,从数列方面对涉及到不动点理论的部分进行探索和研究。 这其中主要包括：求解递推数列的通项公式、判断数列的有界性、单调性、收敛性和求数列极限问题等。 许多例题都是选自高考题和高等数学中的题目。 不动点理论在很多的解题步骤以及数学问题中都有很大的帮助。 熟练地掌握不动点理论和应用，可以使我们用更为简便的方法解决这一复杂问题。

2  不动点定理

2。1  不动点及相关概念

　　定义2。1[1]不动点：函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数 的取值过程中，如果有 ,使 ．就称 为 的一个不动点．

　　对此定义，有两方面的理解：

　　⑴代数意义：若方程 有实数根 ，则 有不动点 ．

　　⑵几何意义：若函数 与 有交点 ，则 为 的不动点．

定义2。2[4]  度量空间：设 是一个集合， ．如果对于任何 ，有

（1）（正定性） ，并且 当且仅当 ；

（2）（对称性） ；

（3）（三角不等式） ；

则称 是集合 的一个度量，偶对 是一个度量空间．

定义2。3[4]  不动点：对于度量空间 及 的映射 ，如果存在 使 ，则称 为映射 的不动点． 

定义2。4[4]  压缩映射：给定 ，如果对于映射 存在常数 ， ，使得对有所的 ，成立 ，则称 是一个压缩映射．

2。2  不动点定理及其证明

定理2。1[5]  Banach不动点理论：设 是一个完备的度量空间， 是 到其自身的一个压缩映射，那么 在 中存在唯一的不动点．

证明：首先，证明 存在不动点，

取定 以递推形式 ，确定一序列 是Cauchy列．

事实上，由

任取自然数 ，不妨设 ，那么

从而知 是一个Canchy列，故存在 ，使 且 是 的不动点．

因为 

故 ,即 ，所以 是 的不动点．

其次，下证不动点的唯一性，

设 有两个不动点 ，那么由 及 ，有

设 ，则 ，得到矛盾，从而 ，唯一性证毕．

定理2。2[5]  推论：设 是n维欧式空间中的有界闭集， 是 的映射，且满足条件：对任意 ，有 ，则映射 在 中存在唯一不动点．

 证明:在 上定义 ，

因为

由于 是连续映射，又由于 是有界闭集合，所以存在最小值，

即 ，使得 ．

    现证明 ，用反证法．

如何 ，即 ，设 ，则 ，

所以

 ,

与 是最小值相矛盾，所以 ，也即 ．

下证唯一性．

若 是 的另一个不定点，

则

　　　　 ，

与条件相矛盾，故原命题得证．

3  不动点定理在数列中的若干应用

3。1  求递推数列的通项公式

定义3。1[6]  不动点法：利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法[6]．

定理3。1[7]  若数列 满足 ，且 是函数 的不动点，则有 ，即 使公比为 的等比数列．

证明：因为 是函数 的不动点，

所以

        （3。1）

又因为

                                                    （3。2）