定理3。1[1] 设 ,

是一个整系数多项式,而 是它的一个有理根,其中 互素,那么必有 整除 , 整除 。特别的,如果 的首项系数  ,那么 的有理根都是整根,而且是 的因子。

对于二、三次整系数多项式,判定其在有理数域上不可约,只需验证该多项式所有可能的有理根都不是多项式的根即可。

例1 判断  在有理数上是否可约。

解  可能的有理根是: 1,。利用综合除法可判定: 1都不是 的有理根,故 在有理数域上不可约。 

例2 判断  在有理数域上是否可约。

解 令

 ，

则 可能的有理根是: 。利用综合除法可判定:  都不是 的有理根。故 在有理数域上不可约，即 在有理数域上不可约。

例3 判断  在有理数上是否可约。

解  可能的有理根是: 1, 2, 7。利用综合除法可判定: 1,-2, 7都不是 的有理根,而2是 的有理根。故 是有理数域上可约多项式。

但当整系数多项式的次数大于或者等于四时,若其没有有理根，就不能判别该多项式在有理数域上是否可约。

例4 判断  在有理数域上是否可约。论文网

解  可能的有理根是： 1, 2, 4。 利用综合除法可判定:  1, 2, 4 却都不是 的有理根。由此我们判断 在有理数域上不可约,然而 却在有理数域上是可约的： 。

例5 试求以 为根的有理系数的不可约多项式。

解 设 ，且以 为根，则根式 ， ， 也一定是 的根。这时令

下证 在 上不可约。由于如果 有有理根，则必为 ，但 都不是 的根。因此 不可能分解为一个一次式与一个三次式之积。

其次，如果 在 上分解为两个二次式之积，那么必可在 上分解为两个二次式之积，即

其中 。比较（1）式两边系数得 

上述方程无解，从而 不可能分解为两个二次式之积。

综上可知 在 上不可约，即为所求。

所以如果一个整系数多项式的次数大于三,即使能判定其没有有理根,也不能说其在有理数域上不可约。因此,对于大于三次的整系数多项式,可以考虑下面的判别方法。

3。2 艾森斯坦判别法

3。2。1  艾森斯坦直接判别法及其应用

定理3。2。1[1] 设

 ,

是一个整系数多项式,如果有一个素数 ,使得

(1) 不整除 ;

(2) 整除  ;

(3) 不整除常数项 。

那么 是有理数域上的不可约多项式。 

例6 判断多项式 在有理数域上是否可约。

解 若取 ,则有： 不整除 ;  整除 , , , ; 

 不整除 。所以根据定理3。2。1知 是有理数域上的不可约多项式。

例7 利用艾森斯坦判别法，证明：若 是 个不相同的素数，而 是一个大于1的整数，那么 是一个无理数。

证明 考虑多项式 及素数 ，由于 互不相同，所以多项式满足艾森斯坦条件，故 在有理数域上不可约。因 ， 没有有理根，而 是它的一个实根，因而为无理数。

例8 证明多项式 在有理数域上不可约。文献综述

证明 若取 ,则有:  不整除 ; 整除

 不整除 。所以根据定理3。2。1知 是有理数域上的不可约多项式。

例9 证明多项式  在有理数域上不可约。

证明 若取 ,则有: 不整除 ; 整除 , , ;

 不整除 。所以由定理3。2。1可得多项式 在有理数域上不可约。

由此可见,在有理数域上,对于任意给定的正整数 ，总存在次数大于 的不可约多项式 。

3。2。2  艾森斯坦间接判别法及其应用