经分析,艾森斯坦判别法是有局限性的,即满足定理的 是否存在,现考虑到多项式的等价,我们可以对其做适当的变形,所以便有了艾森斯坦间接判别法。

定理3。2。2[2] 有理系数多项式 在有理数域上是不可约的充要条件是：对于任意有理数 和 ,多项式 在有理数域上也是不可约的。

所以对于某些不能直接使用艾森斯坦判别法的整系数多项式,通过适当的代换  ,便可以应用艾森斯坦判别法进行判别。

例10 证明 在有理数域上不可约。

证明 令取 ,则有 不整除1, 整除7,14, 不整除14。由艾森斯坦判别法可知 在有理数域上不可约,从而 在有理数域上不可约。

例11 证明 在有理数域上不可约。

证明 令

取 ,则有 不整除1, 整除2,4,6,4, 不整除2。由艾森斯坦判别法可知 在有理数域上不可约, 从而 在有理数域上不可约。

例12 判断多项式 在有理数上是否可约。来,自,优.尔:论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

解 令取素数 ,由艾森斯坦判别法知, 在有理数域上不可约, 从而多项式 在有理数域是不可约的。 

例13 判断多项式  在有理数上是否可约。

解 令 ,

取素数 ,根据艾森斯坦判别法知,多项式 在有理数域上不可约,即 在有理数域上不可约。 

例14 判断多项式 ，其中 为整数，在有理数上是否可约。

解 令则 。

取素数 ,根据艾森斯坦判别法知，多项式 在有理数域上是不可约的,即 在有理数域上不可约。

例15 设 ,且 是素数, 是整数, 整除 。证明 没有有理根。