摘要通过将高维数据矩阵降维得到一个近似的低秩矩阵，这个过程可以在很大程度上减 少冗余信息，即在压缩原来的的数据时忽略一部分意义不大的信息。在低秩矩阵逼近问 题中，如何舍弃那些对数据影响不大的奇异值一直是一个很大的难题。因此，我们尝试 提出一种对奇异值进行加权的新方法，并且把它解决图像去噪问题中。这一方法通过建 立一种关于低秩矩阵奇异值的罚函数，从此罚函数的混合模型表示法来看，我们认为可 以选择一组合适的潜在变量来得到最大期望算法，从而获得低秩矩阵的最大后验估计。 最后得到一种迭代软阈值算法,在将此算法运用到图像去噪试验中后，发现它实现起来较 为简单，去噪效果也很不错。76145

毕业论文关键词 低秩矩阵逼近 奇异值分解 核范数 图像去噪 罚函数

Title Statistical problems in matrix approximation 

Abstract By reducing the dimension of high dimensional data matrix to an approximate low rank matrix, the process can reduce the redundant information to a large extent, that is, the information of the original data is compressed。 In the problem of low rank matrix approximation, it  is  a big problem how to discard the singular value which has little effect on the data。 Therefore, we try to put forward a new method of weighting the singular value, and solve the problem of image denoising。 This method through establish a kind of a low rank matrix singular value of the penalty function, from the penalty function of mixed model representation point of view, we believe that can choose a suitable set of latent variables to get the expectation maximization (EM) algorithm, to obtain low rank matrix of maximum a posteriori estimation。 Finally the obtained algorithm is an iterative soft threshold algorithm。 After the realization of  the later period, it is found that this algorithm is simple, and it is a very effective method of image denoising。

Keywords Low rank matrix approximation singular value decomposition  nuclear norm image denoising    penalty function

目次

1 引言（或绪论）。。- 1 -

1。1 矩阵逼近。。- 1 -

1。2 矩阵低秩。。- 1 -

2 矩阵逼近在图像去噪中的应用。。- 3 -

2。1 图像去噪的研究背景。。- 3 -

2。2 图像去噪的研究现状和主要方法。。- 3 -

3 预备知识。。- 6 -

3。1  矩阵的奇异值分解[4]（SVD）。。。 - 6 -

3。2 奇异值分解意义及性质。。- 6 -

3。3 贝叶斯统计- 10 -

3。4 广义逆高斯分布[5]。- 12 -

3。5 EM 算法。 - 13 -

4 主要算法   - 15 -

4。1 的奇异值分布- 16 -

4。2 求罚函数- 17 -

4。3 奇异值权重的计算- 18 -

4。4 迭代算法- 20 -

5 实验- 21 -

5。1  模拟数据。。。- 21 -

5。2 实验结果- 22 -

结论。。- 24 -

致谢。。- 25 -

参考文献。。- 27 -

1 引言（或绪论）

1。1 矩阵逼近

关于矩阵逼近的问题是在上世纪九十年代后期被提出的，在那个时代，它作 为一门较为新颖的课题引起了相当大的注意。在刚开始的探索阶段时期，通常会 用一个完全不加约束的矩阵去逼近原始矩阵，最多也就是要求其所得逼近矩阵保 持一定的结构。现如今，随着相关学者不断的深入研究，在求解矩阵逼近问题中 提出了更为严格的要求，即不但要求其所得逼近矩阵保持一定的结构，而且还对 其秩作出了相应的约束。于是，一类新的问题随着矩阵逼近的不断发展孕育而生， 那就是矩阵低秩逼近[1]。由于矩阵逼近的理论可以运用到很多实际问题的解决 中，因此关于低秩矩阵逼近问题成为了近几年非常热门的一个研究对象。关于低 秩矩阵逼近的相关内容的应用非常广泛，不仅可以运用到与实际生活密切相关的 领域，如：图象压缩、减噪、地震预测[3]、潜在语义检索（LSI）等等，而且还能 运用到一些数学建模[7]中。于是，低秩矩阵逼近这类问题愈发受到广大学者的关 注。最基本的低秩矩阵逼近问题的大致过程可以用数学语言这样描述：