证: 设为矩阵,,由性质2易证是对称矩阵,,则是反对称矩阵。

性质5 设为对称矩阵,与是同阶矩阵,则是对称矩阵。

证: 因为,所以是对称矩阵。

性质6 设、都是阶对称矩阵,证明:也对称当且仅当、可交换。

证: 必要性:若为对称矩阵,则,又,,因此,、可交换。

充分性:若,则,为对称矩阵。

根据上面的基本性质,举例巩固。

例1 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵,证明是一个对称矩阵,是一个反对称矩阵。

证:由于,    所以    即,那么为对称矩阵:   

    即,那么为反对称矩阵。

例2 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵,证明是对称矩阵。

证:由于,

    所以

    即是对称矩阵。

注:这一类题目比较简单,需要熟练掌握对称矩阵的几个基本性质,并学会运用它。

3 对称矩阵对角化的应用

任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量,那么对称矩阵的对角化需要什么条件,怎样进行对角化,对称矩阵的正定性又如何判别呢?下面的讨论将给出答案。

3。1 对称矩阵对角化的相关理论证明

定理1[[[3]张禾瑞,郝鈵新。高等代数[M]。 北京: 高等教育出版社,2007。]] 实对称矩阵的特征值都是实数。

证: 设是阶实对称阵,是的特征值,是属于的特征向量,于是有。令,其中是的共轭复数,则,考察等式,其左边为,右边为。故=,又因是非零量,故,即是一个实数。

注意,由于实对称矩阵的特征值为实数,所以齐次线性方程组为实系数方程组,由知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。此定理的逆命题不成立。

例如,,,均为实数,而不是对称的。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

定理2 设是实对称矩,定义线性变换,  (1)

则对任意向量,有或。

证: 只证明后一等式即可。。

定理3 设是实对称矩阵,则中属于的不同特征值的特征向量必正交。

证: 设是的两个不同的特征值,分别是属于的特征向量:,。定义线性变换如定理2中的(1),于是,。由,有。因为,所以。即正交。

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