证： 设为矩阵，，由性质2易证是对称矩阵，，则是反对称矩阵。

性质5 设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵。

证： 因为,所以是对称矩阵。

性质6 设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换。

证： 必要性：若为对称矩阵，则，又，，因此，、可交换。

充分性：若，则，为对称矩阵。

根据上面的基本性质，举例巩固。

例1 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵,证明是一个对称矩阵,是一个反对称矩阵。

证：由于,    所以    即,那么为对称矩阵：   

    即,那么为反对称矩阵。

例2 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵，证明是对称矩阵。

证：由于,

    所以

    即是对称矩阵。

注：这一类题目比较简单，需要熟练掌握对称矩阵的几个基本性质，并学会运用它。

3 对称矩阵对角化的应用

任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案。

3。1 对称矩阵对角化的相关理论证明

定理1[[[3]张禾瑞,郝鈵新。高等代数[M]。 北京: 高等教育出版社,2007。]] 实对称矩阵的特征值都是实数。

证： 设是阶实对称阵，是的特征值，是属于的特征向量，于是有。令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为。故=，又因是非零量，故，即是一个实数。

注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组为实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。此定理的逆命题不成立。

例如，，，均为实数，而不是对称的。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

定理2 设是实对称矩，定义线性变换,  （1）

则对任意向量，有或。

证： 只证明后一等式即可。。

定理3 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交。

证： 设是的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量：,。定义线性变换如定理2中的（1），于是，。由，有。因为，所以。即正交。