3。2。1 一般区域上的立体体积 18

3。2。2 二重黎曼和求体积 25

3。2。3 运用傅比尼定理求体积 29

3。2。4 二重积分计算空间立体体积的简便方法 31

结论 33

致谢 34

参考文献 35

第一章  绪论

1。1研究积分思想在立体体积计算中的目的与意义

在日常的数学学习当中，我们经常遇到空间立体体积计算的问题。当空间立体由不同的平面组成时，用简单的初等数学方法就能计算得出结果。而当立体不是由简单的平面组成，而是由较复杂的平面、曲面组成时，初等数学就不能很好的解决问题。要把空间立体的体积用积分形式准确的表示出来。这就体现出积分思想在立体体积计算当中的重要性。我们知道有时空间立体图形不好准确的描绘出来，这就增加了立体体积的计算难度。在不作出立体图形的情况下，只需要通过问题已经给出的条件得到被积函数和积分区域，再通过二重积分的几何意义计算得出空间立体的体积。

1。2 定积分的概念论文网

1。2。1 问题提出

从下面的例子中总结得出定积分的概念。

假设质点受力的作用沿着轴从点移动到点，并假设一直平行于轴（图1-1）。如果为常力，那么它对质点所做的功是。这里的变力是连续依赖质点所在的位置的坐标，是连续函数，下面讨论这时对质点所做的功。

图1-1

由是一个连续函数，所以在很小的位移区间上可以大概地看成一个常量。把分割成个小的区间；并在每个小的区间上随意取一个点，就有。

从而，质点由位移到时，力做的功就近似等于，于是

。                       （1－1）

同样的，对作更多的分割时，如果（1－1）式右边的和式与一个常数无限的接近，那么我们就把这个常数定义为变力所做的功。

这个例子所求的结果可以归结为和式逼近这一特殊形式。在许许多多的数学问题中还有很多类似形式的问题，解决这种问题的步骤方法就是“分割，近似求和，取极限”。这就是定积分概念产生的背景。

1。2。2 定积分的定义

定义1  假设闭区间上有个点，分别是

                 ，

它们把分成个小区间。这些分割点形成对的一个简单的分割，我们把它记作

                 或，

小区间的长度为，并且记

称为分割的模。

注:因为，所以可以用来反映出被分割的细密程度。另外，分割一旦确定，也就确定了；需要注意的是具有同样细度的分割有无穷多。

定义2 假设是定义在上的一个函数。对于的一个分割，任意选取点，并且作和式

                     。

我们称这个和式就是函数在上的一个积分和，也把它称作黎曼和。

显而易见，积分和既和分割有关系，也和所选取的点集有关系。

定积分作为积分和的极限，它的值只和被积函数和积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关。

1。3 二重积分的概念

1。3。1  问题提出

平面图形是有界的意思是，构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，也就是存在一个矩形，使得。