本论文对在众多文献的基础上,对其进行了讨论与归纳,给出了微分中值定理的一些不依赖与罗尔定理的其它证明方法,接着分别对三个中值定理进行了推广,说明了三个公式之间的递进关系,并在解决根的存在性问题,证明不等式和等式三个应用方面进行了归纳举例.

1。微分中值定理及传统证明

1。1罗尔中值定理

    定理1 若函数满足如下条件:

    ①在闭区间上连续;②在开区间上可导;③,

则在上至少存在一点,使论文网

             .

    证  由于函数在是连续的,因此有最小值与最大值,分别用与表示,进行如下讨论:

若,则在上必定为常数,所以结论成立.

若,则因为,所以最小值与最大值至少有一个在开区间上的某点处取得,从而是的极值点.又由条件可知显然在点处是可导的,则由费马定理可推知 证毕.

1。2拉格朗日中值定理

    定理2 若函数满足如下条件:

    ①在闭区间上连续;②在开区间上可导,则在上至少存在一点,使得

           .

    证  做辅助函数 

        

显然 ,则可知在上满足罗尔中值定理.故存在,使整理后可得证毕.

1。3柯西中值定理

    定理3 设函数和满足:

①在闭区间上都连续;②在开区间上都可导;③和不

同时为零;④,则存在,使

          .

    证 作辅助函数

         

显然在上满足罗尔中值定理的条件,故存在,

使得 ,又已知(否则也为零),

因此上式可整理为证毕.

2。微分中值定理的其它证明法及推广

2。1微分中值定理的其它证明法

2。1。1罗尔微分中值定理的证明

    证  (闭区间套法)文献综述

对于区间进行二等分,取左区间.

设       

可看到在上连续,且有

           

根据闭区间上连续函数的介值定理可知,存在,使得

                 

令,,有,且,

记      ,

再将二等分并按照上面的步骤可得到,

              ,.

依照此步骤依次等分下去,则可得到,

              ,.

根据闭区间套定理可知,存在唯一一点,使得,且,

由无穷小量和极限的关系可得

              ,,

其中是无穷小量.

取,则

       

             

             .

2。1。2拉格朗日中值定理的证明

    证 (闭区间套法):若,则取,,可得,:若,由介值定理得:存在,使得,

  则取,,,则有  记 再将二等分且可得

                                 

             

  逐次等分下去可得

                   

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