由闭区间套定理可知存在唯一一点,使得,.

  又在可导,所以有  即在内至少有一点,使得

                     

定理得证.

2。1。3柯西中值定理的证明

    证 构造辅助函数   

因为,即可知恒小于零或恒大于零.若不然,由费马定理知,必存在使得.不妨设恒大于零.则对任意,其中,.又由复合函数的连续性可得在闭区间上连续,在开区间内可导,且             

即要证明  来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-  

构造辅助函数  

可知满足拉格朗日中值定理的条件,则可知至少存在一个,

使得           

成立,再由     

可知,至少存在使得成立,定理得证.

2。2微分中值定理的推广

2。2。1罗尔定理的推广

    定理4 (推广一,推广到开区间)

    若函数满足如下条件:

     ①在开区间上连续且可导;② ;

则在上至少存在一点,使得   

证 :当时,对在,两点进行连续性延拓,使得

,则在上连续,在内可导且有,故满足罗尔中值定理的条件,存在使得.

     :当时,由于,所以存在 ,,

,使得,则在上连续,在内可导,故满足罗尔中值定理的条件,存在使得.

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