1。2 正项级数定义

（）则称为正项级数．也就是级数中的每一项都为正．

1。3 正项级数的收敛性

的部分和数列有界，即存在正整数，对，有．

2。正项级数收敛性的一般判别法文献综述

2。1比较判别法

设是两个正项级数，如果存在某正整数,对任意都满足，则：若级数收敛，级数也收敛．

若级数发散，级数也发散．

2。2柯西判别法

设为正项级数，且存在某一正数及常数成立若对一切, 成立不等式，则级数收敛．若对一切, 成立不等式，则级数发散．

2。3达朗贝尔判别法

设为正项级数，且存在某正整数及常数

(1)若对一切,成立不等式,则级数收敛；

（）若对一切,成立不等式，则级数发散．

2。4高斯判别法

设（有界，）则当时，级数收敛；当时，级数发散．

2。5拉贝判别法

设为正项级数，存在一正整数及常数，若对一切成立不等式，则级数收敛；若对一切成立不等式，则级数发散．

3。正项级数收敛性的新的判别法

3。1新的比值判别法

引理1 设,是两个正项级数，如果由某项起不等式与

，（）．令当时，显然成立,当时，把写成的形式，其中．

（）若，则有成立．

（）若,将写成，使，若还不成立，继续下去，经过有限次得出．可写成，其中，循环使用不等式，得到下面式子成立．则级数收敛蕴含着级数收敛；级数发散蕴含着级数发散．

引理2　设是正项级数，且，若对于某个正整数,有下列结论成立：

若级数收敛，则级数收敛．若级数发散，则级数发散．

证明　记则，所以结论（1）成立．又来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

，所以结论（2）成立．

主要结论

定理1 设为正项级数，如果，那么当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数敛散性无法判断．

证明　（1）当时，对，当时，有与．又，选满足．设，则（所以级数收敛）且．当足够大时，和．由引理1,得级数收敛．

（2）当时，取正数，满足，，当时，有和．设，则，而．因此和成立．因发散，由引理1,得级数发散．

定理2  设为正项级数，如果并且则当时，级数收敛，当时，级数发散．

证明：，（）．则由定理1，结论成立．

定理3　设为正项级数，若则当时，当时，．

证明　对，当充分大时，得（）

即，当时，取，使其满足得，同理，当时，取，使其满足得，同理．